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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代写|MAT513 Operations on Power Series

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Operations on Power Series

Suppose that $f(z)=\sum_{n=0} a_{n} z^{n}$ converges in $D(0 ; R)={z \in \mathbb{C}|| z \mid<R}$. Then $f^{\prime}(z)$ exists and
$$f^{\prime}(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} z^{n-1}$$
in $D(0 ; R)$. Furthermore, $f$ is infinitely differentiable in $D(0 ; R)$ and for every $k \geq 1$, we have
$$f^{(k)}(z)=\sum_{n=k}^{\infty} n(n-1) \cdots(n-k+1) a_{n} z^{n-k}$$
in $D(0 ; R)$.

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Power Series centered at z0

The power series considered in the previous sections is called power series centered at 0 . Generally, we may consider power series centered at an arbitrary point $z_{0}$ :
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}$$
In this case, the disc of convergence will be changed from $D(0 ; R)$ to $D\left(z_{0} ; R\right)$ and the above theorems and corollary remain valid. See Figure $5.1$ for the convergence of this general power series.

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Power Series centered at Infinity

The function $f(z)$ is said to be analytic at $z=\infty$ if the function $g(\omega)=f\left(\frac{1}{\omega}\right)$ is analytic at $\omega=0$. If $f(z)$ is analytic at $\infty$, then $g(\omega)=f\left(\frac{1}{\omega}\right)$ has a power series expansion centered at $\omega=0$, i.e.,
$$g(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \omega^{n}$$

for $|\omega|<R$, where $R$ is its radius of convergence. Thus $f(z)$ has the following series representation
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{z^{n}}$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Operations on Power Series

F′(和)=∑n=1∞n一个n和n−1

F(ķ)(和)=∑n=ķ∞n(n−1)⋯(n−ķ+1)一个n和n−ķ

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Power Series centered at z0

F(和)=∑n=0∞一个n(和−和0)n

G(ω)=∑n=0∞一个nωn

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。