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# 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|MATH307 Cauchy’s Integral Formula and its Consequences

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Cauchy’s Integral Formula and its Consequences

As an application of Cauchy’s Theorem, Cauchy’s Integral Formula is derived. It gives the value of an analytic function in a disk in terms of the values on the boundary. As a result, an analytic function may be represented by a power series.

Theorem $6.15$ (The Cauchy Integral Formula). Suppose that $\Omega$ is an open set containing the closed disc $\overline{D(a ; r)}$. If $f \in H(\Omega)$, then for all $z_{0} \in D(a ; r)$, we have
$$f\left(z_{0}\right)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C(a ; r)} \frac{f(z) \mathrm{d} z}{z-z_{0}} .$$

We note that Cauchy’s Integral Formula) has no analog for functions of a real variable. The functions $f_{n}(x)=x^{n}$ share the same boundary values $f_{n}(0)=0$ and $f_{n}(1)=1$ for all $n \in \mathbb{N}$, but they are all different at points of $(0,1)$.

Cauchy’s Integral Formula leads to many important properties of analytic functions. The first remarkable fact of this kind is that every analytic function is infinitely differentiable. Explicitly, we have

(The Cauchy Integral Formula for Derivatives). Suppose that $\Omega$ is an open set containing the closed disc $\overline{D(a ; r)}$. If $f \in H(\Omega)$, then for all $z_{0} \in D(a ; r)$ and every positive integer $n$, we have
$$f^{(n)}\left(z_{0}\right)=\frac{n !}{2 \pi i} \int_{C(a ; r)} \frac{f(z) \mathrm{d} z}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Cauchy’s Type Integrals

(Cauchy’s Type Integrals). Integrals of the form
$$\int_{\gamma} \frac{f(\zeta) d \zeta}{\zeta-z}$$
are called Cauchy’s type integrals, where $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is a rectifiable curve ${ }^{\mathrm{d}}$ (not necessarily closed or simple) intersecting itself only a finite number of times, $z \in \mathbb{C} \backslash \gamma([a, b])$ and $f$ is continuous on $\gamma$.

It is well-known that $\gamma$ divides the plane into a finite number of disjoint regions $\Omega_{0}, \Omega_{1}, \ldots, \Omega_{n}$, where $\Omega_{0}$ denotes the unbounded region. Since the integrand
$$\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$$
is contimuous for all $z \in \mathbb{C} \backslash \gamma([a, b])$, the integral (6.1) indeed defines a function $F(z)$ on $\mathbb{C} \backslash \gamma([a, b]) .$ It is a fact that $F$ is analytic in every $\Omega_{k}$ and
$$F^{\prime}(z)=\int_{\gamma} \frac{f(\zeta) \mathrm{d} \zeta}{(\zeta-z)^{2}}$$
in $\Omega_{k}$. However, $F$ may represent different analytic functions in different $\Omega_{k}$. For further discussion of this topic, please read $[17, \S 7.20$, pp. $486-490]$.

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Cauchy’s Integral Formula and its Consequences

F(和0)=12圆周率一世∫C(一个;r)F(和)d和和−和0.

（导数的柯西积分公式）。假设Ω是一个包含闭合圆盘的开集D(一个;r)―. 如果F∈H(Ω), 那么对于所有和0∈D(一个;r)和每个正整数n， 我们有
F(n)(和0)=n!2圆周率一世∫C(一个;r)F(和)d和(和−和0)n+1

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Cauchy’s Type Integrals

（柯西类型积分）。形式的积分
∫CF(G)dGG−和

F(G)G−和

F′(和)=∫CF(G)dG(G−和)2

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。