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# 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|TMA4175 An Estimate of the Integral: The M-L Formul

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## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|4 An Estimate of the Integral: The M-L Formul

Suppose that $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ is a smooth curve of length $L$ and $f$ is a continuous complex-valued function on $\gamma$. Let $M=\max {|f(\gamma(t))| \mid a \leq t \leq b}$. Then we have the estimate
$$\left|\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z\right| \leq M L$$
This estimate can be applied to prove the following result:
Theorem 6.6. Let $\gamma$ be a smooth curve and $\left{f_{n}\right}$ be a sequence of continuous complex-valued functions on $\gamma$ such that $f_{n} \rightarrow f$ uniformly on $\gamma$. Then we have
$$\lim {n \rightarrow \infty} \int{\gamma} f_{n}(z) \mathrm{d} z=\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z .$$
Corollary 6.7. Suppose that $\left{f_{n}\right}$ is a sequence of continuous complex-valued functions and that $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$ converges uniformly on a smooth curve $\gamma$. Then we have
$$\sum_{n=1}^{\infty} \int_{\gamma} f_{n}(z) \mathrm{d} z=\int_{\gamma} \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z) \mathrm{d} z$$

## 数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代写|Cauchy’s Theorems

Cauchy’s theorem (or called Cauchy’s Integral Theorem) is a type of results which investigate conditions so that the integral of an analytic function over a simple closed curve vanishes. In fact, there are a variety of conditions available and we are going to list some of them here.

Theorem $6.8$ (Cauchy’s Theorem for a Triangle). Suppose that $\Delta$ is a triangle in $\mathbb{C}$ and $f$ is analytic in a region $\Omega$ containing $\Delta$ and its interior. Then we must have
$$\int_{\Delta} f(z) \mathrm{d} z=0$$
It is sometimes called Goursat’s Theorem. We notice that the above result is also true in the case that $\Delta$ replaced by a rectangle $R$ or in the case that $f$ is continuous on $\Omega$ and $f \in H(\Omega \backslash{p})$ for some $p \in \Omega$, see $[1$, Theorem 2, p. 109] or $[31$, Theorem 10.13, pp. 205, 206].

Theorem 6.9 (Cauchy’s Theorem in a Convex Region). Suppose that $\Omega$ is a convex region and $f \in H(\Omega)$. Then it is true that $f=F^{\prime}$ for some $F \in H(\Omega)$ and
$$\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d} z=0$$
for every closed path $\gamma$ in $\Omega .$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。