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# 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|PHYS783 Symmetries of the quantum theory

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## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|Symmetries of the quantum theory

In our discussion of classical field theory, we discovered that the presence of continuous global symmetries implied the existence of constants of motion. In addition, the constants of motion were the generators of infinitesimal symmetry transformations. Let us now explore what role symmetries play in the quantized theory.

In the quantized theory, all physical quantities are represented by operators that act the Hilbert space of states. The classical statement that a quantity $A$ is conserved if its Poisson bracket with the Hamiltonian vanishes
$$\frac{d A}{d t}={A, H}_{P B}=0$$
in quantum theory becomes the operator identity
$$i \frac{d \widehat{A}{H}}{d t}=\left[\widehat{A}{H}, \widehat{H}\right]=0$$

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|The vacuum state

The vacuum state has $N_{a}=N_{b}=0$. Thus, the generator $\widehat{Q}$ annihilates the vacuum
$$\widehat{Q}|0\rangle=0$$
Therefore, the vacuum state is invariant (i.e., is a singlet) under the symmetry:
$$|0\rangle^{\prime}=e^{i \hat{Q} \alpha}|0\rangle=|0\rangle$$
Because the state $|0\rangle$ is always defined up to an overall phase factor, it spans a onedimensional subspace of states that are invariant under the symmetry. This is the vacuum sector and, for this problem, is trivial.

## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|One-particle states

There are two linearly independent one-particle states, $|+, \boldsymbol{k}\rangle$ and $|-, \boldsymbol{k}\rangle$, defined by
$$|+, k\rangle=\hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle, \quad|-, \boldsymbol{k}\rangle=\hat{b}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle$$
Both states have the same momentum $\boldsymbol{k}$ and energy $\omega(\boldsymbol{k})$. The $\widehat{Q}$-quantum numbers of these states, which we will refer to as their charge, are
\begin{aligned} &\widehat{Q}|+, k\rangle=\left(\hat{N}{a}-\hat{N}{b}\right) \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle=\hat{N}{a} \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle=+|+, \boldsymbol{k}\rangle \ &\widehat{Q}|-, \boldsymbol{k}\rangle=\left(\hat{N}{a}-\hat{N}_{b}\right) \hat{b}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle=-|-, \boldsymbol{k}\rangle \end{aligned}

d一个d吨=一个,H磷乙=0

$$i \frac{d \widehat{A} {H}}{dt}=\left[\widehat{A} {H}, \widehat{H}\right]=0   ## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|The vacuum state 真空状态有ñ一个=ñb=0. 因此，生成器问^消灭真空 问^|0⟩=0 因此，真空态在对称性下是不变的（即为单线态）： |0⟩′=和一世问^一个|0⟩=|0⟩ 因为国家|0⟩总是定义为一个整体相位因子，它跨越在对称下不变的状态的一维子空间。这是真空领域，对于这个问题，这是微不足道的。 ## 物理代考|量子场论代考QUANTUM FIELD THEORY代考|One-particle states 有两个线性独立的单粒子状态，|+,ķ⟩和|−,ķ⟩， 被定义为 |+,ķ⟩=一个^†(ķ)|0⟩,|−,ķ⟩=b^†(ķ)|0⟩ 两个州的势头相同ķ和能量ω(ķ). 这问^-这些状态的量子数，我们将其称为电荷，是$$
\begin{aligned}
&\widehat{Q}|+, k\rangle=\left(\hat{N} {a}-\ hat{N} {b}\right) \hat{a}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle=\hat{N} {a} \hat{a}^{\dagger} (\boldsymbol{k})|0\rangle=+|+, \boldsymbol{k}\rangle \ &\widehat{Q}|-, \boldsymbol{k}\rangle=\left(\hat{N} { a}-\hat{N}_{b}\right) \hat{b}^{\dagger}(\boldsymbol{k})|0\rangle=-|-, \boldsymbol{k}\rangle
\end {对齐}


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。