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# 数学代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|ECE6063 Entropy of a Gaussian process in continuous time

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## 数学代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|Entropy of a Gaussian process in continuous time

For this purpose we can apply the approach employed in clause 2 of Section $5.5$. This approach uses the passage to a periodic stationary process. While considering a process on interval $[0, T]$ with correlation function $R\left(t, t^{\prime}\right)=R\left(t-t^{\prime}\right)$, one can construct the new correlation function
$$\bar{R}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} R(\tau+n T)$$
which, apart from stationarity, also possesses the periodicity property. Formula (5.7.1) is analogous to formula (5.5.14). The process
$$\bar{\xi}(t)=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} \xi(t+j T)$$
has such a correlation function in the limit as $N \rightarrow \infty$.
Stationary periodic matrix $\bar{R}\left(t-t^{\prime}\right)$ of type (5.7.1) can be diagonalized by unitary transformation $U$ with the matrix
$$U_{t r}=\frac{1}{\sqrt{T}} e^{2 \pi i t r / T} \quad t \in[0,1], \quad r=\ldots,-1,0,1,2, \ldots$$
Therefore, the eigenvalues $\lambda$ of matrix $\bar{R}\left(t-t^{\prime}\right)$ are
$$\lambda_{r}=\int_{0}^{T} \bar{R}_{\tau} e^{-2 \pi i \tau r / T} d \tau$$

## 数学代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|Entropy of a stochastic point process

Consider a stochastic point process on interval $a \leqslant t \leqslant b$, which is regarded as a set of random points, the number of which and their positions are random. Sometimes such a process is called a ‘random flow’. However, we regard this term as inappropriate, because it is natural to use the word ‘flow’ in another sense referring it to a motion in space as is done in physics.

Denote the number of sampled points by $n$. Further, we use notations $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ for sampled locations of those points (of course, $\tau_{i} \in[a, b]$ for all $i=1, \ldots, n$ ). We assume without loss of generality that values $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ are already indexed in a nondescending fashion: $\tau_{1} \leqslant \tau_{2} \leqslant \cdots \leqslant \tau_{n}$. Coincidence $\tau_{i}=\tau_{j}, i \neq j$ is assumed to be of zero probability.

For the specified process, the measure $\mathbf{P}$ is characterized by the assignment of the probabilities
$$\mathbf{P}(n)=P_{n}$$
and the system of probability densities
$$p\left(\tau_{1} \mid 1\right), \quad p\left(\tau_{1}, \tau_{2} \mid 2\right), \ldots$$
which satisfy the normalization constraint
$5.8$ Entropy of a stochastic point process
145
$$\int_{a}^{b} d \tau_{1} \int_{\tau_{1}}^{b} d \tau_{2} \int_{\tau_{2}}^{b} d \tau_{3} \ldots \int_{\tau_{n-1}}^{b} d \tau_{n} p\left(\tau_{1}, \ldots, \tau_{n} \mid n\right)=1$$

## 数学代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|Entropy of a Gaussian process in continuous time

$$\bar{R}(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} R(\tau+n T)$$

$$\bar{\xi}(t)=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} \xi(t+j T)$$

$$U_{t r}=\frac{1}{\sqrt{T}} e^{2 \pi i t r / T} \quad t \in[0,1], \quad r=\ldots,-1,0,1,2, \ldots$$

$$\lambda_{r}=\int_{0}^{T} \bar{R}{\tau} e^{-2 \pi i \pi r / T} d \tau$$

## 数学代写|信息论代写INFORMATION THEORY代写|Entropy of a stochastic point process

$$\mathbf{P}(n)=P_{n}$$

$$p\left(\tau_{1} \mid 1\right), \quad p\left(\tau_{1}, \tau_{2} \mid 2\right), \ldots$$

$5.8$ 随机点过程的熵
145
$$\int_{a}^{b} d \tau_{1} \int_{\tau_{1}}^{b} d \tau_{2} \int_{\tau_{2}}^{b} d \tau_{3} \ldots \int_{\tau_{n-1}}^{b} d \tau_{n} p\left(\tau_{1}, \ldots, \tau_{n} \mid n\right)=1$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。