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统计代考|概率论代考PROBABILITY THEORY代考|MAST31702

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统计代考|概率论代考PROBABILITY THEORY代考|DEFINITIONS AND EXAMPLES

Let us regard a simple example. Let the set of elementary events $\Omega$ consist of three elements: the elementary events $\omega_{1}$, $\omega_{2}$, and $\omega_{3}$ with probabilities $1 / 2,1 / 3$, and $1 / 6$. Let there be three random variables in $\Omega$ : $X_{l}\left(\omega_{1}\right)=4, X_{1}\left(\omega_{2}\right)=7, X_{l}\left(\omega_{3}\right)=12, X_{2}\left(\omega_{1}\right)=8, X_{2}\left(\omega_{2}\right)=1, X_{2}\left(\omega_{3}\right)=9$, $X_{3}\left(\omega_{1}\right)=0, X_{3}\left(\omega_{2}\right)=15, X_{3}\left(\omega_{3}\right)=5$. We can construct a variational series, consisting of the order statistics $X_{1,3}, X_{2,3}$, and $X_{3,3}$. In this case
$$X_{1,3}\left(\omega_{1}\right)=X_{3}\left(\omega_{1}\right)=0, X_{1,3}\left(\omega_{2}\right)=X_{2}\left(\omega_{2}\right)=1, X_{1,3}\left(\omega_{3}\right)=X_{3}\left(\omega_{3}\right)=5,$$

\begin{aligned} &X_{2,3}\left(\omega_{1}\right)=X_{1}\left(\omega_{1}\right)=4, X_{2,3}\left(\omega_{2}\right)=X_{1}\left(\omega_{2}\right)=7, X_{2,3}\left(\omega_{3}\right)=X_{2}\left(\omega_{3}\right)=9 \ &X_{3,3}\left(\omega_{1}\right)=X_{2}\left(\omega_{1}\right)=8, X_{3,3}\left(\omega_{2}\right)=X_{3}\left(\omega_{2}\right)=15, X_{3,3}\left(\omega_{3}\right)=X_{1}\left(\omega_{3}\right)=12 \end{aligned}
We see that the order statistic $X_{l, 3}$ has the values 0 (with probability $1 / 2$ ), $I$ (with probability $I / 3$ ) and 5 (with probability $I / 6$ ). With the same weights the order statistic $X_{2,3}$ has the values 4,7 and 9 , and $X_{3,3}$ has the values 8,12 and 15 with the corresponding probabilities $1 / 2,1 / 6$, and $1 / 3$.

统计代考|概率论代考PROBABILITY THEORY代考|DISTRIBUTIONS OF ORDER STATISTICS

Let there be $n$ random variables in a probability space $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ and this set corresponds to the variational series $X_{l, n} \leq X_{2, n} \leq \ldots \leq X_{n, n}$.

We suppose that the original random variables are independent and have a common cumulative distribution function $F(x)$. In this case cumulative distribution functions of the extreme members of the variational series (order statistics $X_{l, n}$ and $X_{n, n}$ ) seem very simple. It is easy to verify, taking independence of the initial variables into account, that
$$\mathrm{F}{\mathrm{n}, \mathrm{n}}(\mathrm{x})=\mathrm{P}\left{\mathrm{X}{\mathrm{n}, \mathrm{n}}<\mathrm{x}\right}=\mathrm{P}\left{\mathrm{X}{1}<\mathrm{x}, \mathrm{X}{2}<\mathrm{x}, \ldots, \mathrm{X}{\mathrm{n}}<\mathrm{x}\right}=\mathrm{F}^{\mathrm{n}}(\mathrm{x})$$ and \begin{aligned} &\mathrm{F}{1, \mathrm{n}}(\mathrm{x})=\mathrm{P}\left{\mathrm{X}{1, \mathrm{n}}<\mathrm{x}\right}=1-\mathrm{P}\left{\mathrm{X}{1, \mathrm{n}} \geq \mathrm{x}\right} \ &=1-\mathrm{P}\left{\mathrm{X}{1} \geq \mathrm{x}, \mathrm{X}{2} \geq \mathrm{x}, \ldots, \mathrm{X}{\mathrm{n}} \geq \mathrm{x}\right}=1-(1-\mathrm{F}(\mathrm{x}))^{\mathrm{n}} \end{aligned} Already for the order statistic $X{n-l, n}$ it would be needed to use a more cumbersome relation
\begin{aligned} &F_{n-1, n}(x)=P\left{X_{n-1, n}<x\right}=P\left{X_{n, n}<x\right}+P\left{X_{n-1, n}<x, X_{n, n} \geq x\right}= \ &=F^{n}(x)+n(1-F(x)) F^{n-1}(x) \end{aligned}

统计代考|概率论代考PROBABILITY THEORY代考|DEFINITIONS AND EXAMPLES

$$X_{l}\left(\omega_{1}\right)=4, X_{1}\left(\omega_{2}\right)=7, X_{l}\left(\omega_{3}\right)=12, X_{2}\left(\omega_{1}\right)=8, X_{2}\left(\omega_{2}\right)=1, X_{2}\left(\omega_{3}\right)=9 \text {, }$$
$X_{3}\left(\omega_{1}\right)=0, X_{3}\left(\omega_{2}\right)=15, X_{3}\left(\omega_{3}\right)=5$. 我们可以构造一个变分序列，由顺序统计量组 成 $X_{1,3}, X_{2,3}$ ，和 $X_{3,3}$. 在这种情况下
$$X_{1,3}\left(\omega_{1}\right)=X_{3}\left(\omega_{1}\right)=0, X_{1,3}\left(\omega_{2}\right)=X_{2}\left(\omega_{2}\right)=1, X_{1,3}\left(\omega_{3}\right)=X_{3}\left(\omega_{3}\right)=5,$$

$$X_{2,3}\left(\omega_{1}\right)=X_{1}\left(\omega_{1}\right)=4, X_{2,3}\left(\omega_{2}\right)=X_{1}\left(\omega_{2}\right)=7, X_{2,3}\left(\omega_{3}\right)=X_{2}\left(\omega_{3}\right)=9 \quad X_{3,3}\left(\omega_{1}\right)=X_{2}\left(\omega_{1}\right)=8, X_{3,3}\left(\omega_{2}\right)=X_{3}\left(\omega_{2}\right)=15,$$

统计代考|概率论代考PROBABILITY THEORY代考IDISTRIBUTIONS OF ORDER STATISTICS

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。