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# 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH4250 Examples and Exercises

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## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Examples and Exercises

How large can the constant $\varepsilon$ in Corollary 4.4.6 be chosen in the case $M=S^{2}$ ? Compare this with the injectivity radius.

Remark 4.4.8 We conclude from Theorem 4.4.4 that
$$S_{r}(p):={q \in M \mid d(p, q)=r}=\exp {p}\left(\left{v \in T{p} M|| v \mid=r\right}\right)$$
for $0<r<\operatorname{inj}(p ; M)$. The Gauß Lemma $4.4 .5$ shows that the geodesic rays $[0,1] \rightarrow M: s \mapsto \exp {p}(s v)$ emanating from $p$ are the orthogonal trajectories to the concentric spheres $S{r}(p)$.
Let
$$M \subset \mathbb{R}^{3}$$
be of dimension two and suppose that $M$ is invariant under the (orthogonal) reflection about some plane $E \subset \mathbb{R}^{3}$. Show that $E$ intersects $M$ in a geodesic. (Hint: Otherwise there would be points $p, q \in M$ very close to one another joined by two distinct minimal geodesics.) Conclude for example that the coordinate planes intersect the ellipsoid $(x / a)^{2}+(y / b)^{2}+(z / c)^{2}=1$ in geodesics.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Convex Neighborhoods

A subset of an affine space is called convex iff it contains the line segment joining any two of its points. The definition carries over to a submanifold $M$ of Euclidean space (or indeed more generally to any manifold $M$ equipped with a spray) once we reword the definition so as to confront the difficulty that a geodesic joining two points might not exist nor, if it does, need it be unique.

Definition 4.5.1 (Geodesically convex set) Let $M \subset \mathbb{R}^{n}$ be a smooth $m$ dimensional manifold. A subset $U \subset M$ is called geodesically convex iff, for all $p_{0}, p_{1} \in U$, there exists a unique geodesic $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ such that $\gamma(0)=p_{0}$ and $\gamma(1)=p_{1}$

It is not precluded in Definition 4.5.1 that there be other geodesics from $p$ to $q$ which leave and then re-enter $U$, and these may even be shorter than the geodesic in $U$.

(a) Find a geodesically convex set $U$ in a manifold $M$ and points $p_{0}, p_{1} \in U$ such that the unique geodesic $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ with $\gamma(0)=p_{0}$ and $\gamma(1)=p_{1}$ has length $L(\gamma)>d\left(p_{0}, p_{1}\right)$. Hint: An interval of length bigger than $\pi$ in $S^{1}$.
(b) Find a set $U$ in a manifold $M$ such that any two points in $U$ can be joined by a minimal geodesic in $U$, but $U$ is not geodesically convex. Hint: A closed hemisphere in $S^{2}$.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Examples and Exercises

$\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别

$$M \subset \mathbb{R}^{3}$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Convex Neighborhoods

(a) 求测地凸集 $U$ 在一个歧管 $M$ 和点 $p_{0}, p_{1} \in U$ 这样独特的测地线 $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ 和 $\gamma(0)=p_{0}$ 和 $\gamma(1)=p_{1}$ 有长度 $L(\gamma)>d\left(p_{0}, p_{1}\right)$. 提示：长度大于的区间 $\pi$ 在 $S^{1}$.
(b) 找到一个集合 $U$ 在一个歧管 $M$ 使得任意两点 $U$ 可以通过最小测地线连接 $U$ ，但 $U$ 不是测地线凸 的。提示: 一个封闭的半球 $S^{2}$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。