Posted on Categories:Differential Geometry, 微分几何, 数学代写

# 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH4351 Examples and Exercises

avatest™

avatest.org™微分几何Differential geometry代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。avatest.org™， 最高质量的微分几何Differential geometry作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此微分几何Differential geometry作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

avatest.org™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微分几何Differential geometry代写方面经验极为丰富，各种微分几何Differential geometry相关的作业也就用不着 说。

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Examples and Exercises

The exponential map on $\mathbb{R}^{m}$ is given by
$$\exp {p}(v)=p+v \quad \text { for } p, v \in \mathbb{R}^{m}$$ For every $p \in \mathbb{R}^{m}$ this map is a diffeomorphism from $T{p} \mathbb{R}^{m}=\mathbb{R}^{m}$ to $\mathbb{R}^{m}$ and hence the injectivity radius of $\mathbb{R}^{m}$ is infinity.

The exponential map on $S^{m}$ is given by
$$\exp {p}(v)=\cos (|v|) p+\frac{\sin (|v|)}{|v|} v$$ for every $p \in S^{m}$ and every nonzero tangent vector $v \in T{p} S^{m}=p^{\perp}$. The restriction of this map to the open ball of radius $r$ in $T_{p} M$ is a diffeomorphism onto its image if and only if $r \leq \pi$. Hence the injectivity radius of $S^{m}$ at every point is $\pi$.
Exercise: Given $p \in S^{m}$ and $0 \neq v \in T_{p} S^{m}=p^{\perp}$, prove that the geodesic $\gamma: \mathbb{R} \rightarrow S^{m}$ with $\gamma(0)=p$ and $\dot{\gamma}(0)=v$ is given by
$$\gamma(t)=\cos (t|v|) p+\frac{\sin (t|v|)}{|v|} v$$
for $t \in \mathbb{R}$. Show that in the case $0 \leq|v| \leq \pi$ there is no shorter curve in $S^{m}$ connecting $p$ and $q:=\gamma(1)$ and deduce that the intrinsic distance on $S^{m}$ is given by
$$d(p, q)=\cos ^{-1}(\langle p, q\rangle)$$
for $p, q \in S^{m}$ (see Example $4.2 .5$ for $m=2$ ).

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Geodesics in Local Coordinates

Let $M \subset \mathbb{R}^{n}$ be an m-dimensional manifold and choose a coordinate chart $\phi: U \rightarrow \Omega$ with inverse
$$\psi:=\phi^{-1}: \Omega \rightarrow U$$
Let $\Gamma_{i j}^{k}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ be the Christoffel symbols defined by (3.6.6) and let $c: I \rightarrow \Omega$ be a smooth curve. Then the curve
$$\gamma:=\psi \circ c: I \rightarrow M$$
is a geodesic if and only if $c$ satisfies the $2 n d$ order differential equation
$$\ddot{c}^{k}+\sum_{i, j=1}^{m} \Gamma_{i j}^{k}(c) \dot{c}^{i} \dot{c}^{j}=0$$
for $k=1, \ldots, m$.
Proof This follows immediately from the definition of geodesics and equation (3.6.7) in Lemma 3.6.1 with $X=\dot{\gamma}$ and $\xi=\dot{c}$.

We remark that Lemma 4.3.14 gives rise to another proof of Lemma 4.3.4 that is based on the existence and uniqueness of solutions of second order differential equations in local coordinates.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Examples and Exercises

$$\exp p(v)=p+v \quad \text { for } p, v \in \mathbb{R}^{m}$$

$$\exp p(v)=\cos (|v|) p+\frac{\sin (|v|)}{|v|} v$$

$$\gamma(t)=\cos (t|v|) p+\frac{\sin (t|v|)}{|v|} v$$ 内在距离 $S^{m}$ 是 (谁) 给的
$$d(p, q)=\cos ^{-1}(\langle p, q\rangle)$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Geodesics in Local Coordinates

$$\psi:=\phi^{-1}: \Omega \rightarrow U$$

$$\gamma:=\psi \circ c: I \rightarrow M$$

$$\ddot{c}^{k}+\sum_{i, j=1}^{m} \Gamma_{i j}^{k}(c) \dot{c}^{i} \dot{c}^{j}=0$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。