Posted on Categories:Differential Geometry, 微分几何, 数学代写

# 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|MATH464 Minimal Geodesics

avatest™

avatest.org™微分几何Differential geometry代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。avatest.org™， 最高质量的微分几何Differential geometry作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此微分几何Differential geometry作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

avatest.org™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微分几何Differential geometry代写方面经验极为丰富，各种微分几何Differential geometry相关的作业也就用不着 说。

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Characterization of Minimal Geodesics

Lemma 4.4.1 Let $I=[a, b]$ be a compact interval, let $\gamma: I \rightarrow M$ be a smooth curve, and define $p:=\gamma(a)$ and $q:=\gamma(b)$. Then the following are equivalent.
(i) $\gamma$ is parametrized proportional to the arclength, i.e. $|\dot{\gamma}(t)|=c$ is constant, and $\gamma$ minimizes the length, i.e. $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every smooth curve $\gamma^{\prime}$ in $M$ joining $p$ and $q$.
(ii) $\gamma$ minimizes the energy, i.e. $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every smooth curve $\gamma^{\prime}$ in $M$ joining $p$ and $q$.

(Minimal geodesic) A smooth curve $\gamma: I \rightarrow M$ on a compact interval $I \subset \mathbb{R}$ is called a minimal geodesic iff it satisfies the equivalent conditions of Lemma 4.4.1.
Remark 4.4.3
(i) Condition (i) says that (the velocity $|\dot{\gamma}|$ is constant and) $L(\gamma)=d(p, q)$, i.e. that $\gamma$ is a shortest curve from $p$ to $q$. It is not precluded that there be more than one such $\gamma$; consider for example the case where $M$ is a sphere and $p$ and $q$ are antipodal.
(ii) Condition (ii) implies that
$$\left.\frac{d}{d s}\right|{s=0} E\left(\gamma{s}\right)=0$$
for every smooth variation $\mathbb{R} \times I \rightarrow M: s \mapsto \gamma_{s}(t)$ of $\gamma$ with fixed endpoints. Hence a minimal geodesic is a geodesic.
(iii) Finally, we remark that $L(\gamma)$ (but not $E(\gamma))$ is independent of the parametrization of $\gamma$. Hence, if $\gamma$ is a minimal geodesic, then $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ for every $\gamma^{\prime}$ (from $p$ to $q$ ) whereas $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ for those $\gamma^{\prime}$ defined on (an interval the same length as) $I$.

Proof of Lemma 4.4.1 We prove that (i) implies (ii). Let $c$ be the (constant) value of $|\dot{\gamma}(t)|$. Then
$$L(\gamma)=(b-a) c, \quad E(\gamma)=\frac{(b-a) c^{2}}{2}$$

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代写|Local Existence of Minimal Geodesics

Theorem 4.4.4 (Existence of minimal geodesics) Let $M \subset \mathbb{R}^{n}$ be a smooth $m$ manifold, fix a point $p \in M$, and let $r>0$ be smaller than the injectivity radius of $M$ at $p$. Let $v \in T_{p} M$ such that $|v|<r$. Then
$$d(p, q)=|v|, \quad q:=\exp {p}(v),$$ and a curve $\gamma \in \Omega{p, q}$ has minimal length $L(\gamma)=|v|$ if and only if there is a smooth $\operatorname{map} \beta:[0,1] \rightarrow[0,1]$ satisfying
$$\beta(0)=0, \quad \beta(1)=1, \quad \dot{\beta} \geq 0$$
such that $\gamma(t)=\exp _{p}(\beta(t) v)$ for $0 \leq t \leq 1$
The proof is based on the following lemma.

## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Characterization of Minimal Geodesics

(一世) $\gamma$ 参数化与弧长成比例，即 $|\dot{\gamma}(t)|=c$ 是恒定的，并且 $\gamma$ 最小化长度，即 $L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right)$ 对于每条平滑曲线 $\gamma^{\prime}$ 在 $M$ 加入 $p$ 和 $q$.
(二) $\gamma$ 最小化能量，即 $E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right)$ 对于每条平滑曲线 $\gamma^{\prime}$ 在 $M$ 加入 $p$ 和 $q$.
(最小测地线) 平滑曲线 $\gamma: I \rightarrow M$ 在一个䋯凑的区间 $I \subset \mathbb{R}$ 称为最小测地线当且仅当它 满足引理 $4.4 .1$ 的等效条件。

(i) 条件 (i) 表示 (速度 $|\dot{\gamma}|$ 是恒定的并且) $L(\gamma)=d(p, q)$, 即 $\gamma$ 是一条最短的曲线 $p$ 至 $q$. 不排 除有不止一种这样的 $\gamma$, 例如考虑以下情况 $M$ 是一个球体并且 $p$ 和 $q$ 是对映的。
(ii) 条件 (ii) 意味着
\$\$
Veft.|frac{d ${\mathrm{ds}}$ |right ${s=0}$ E|left $($ lgamma ${s} \mid$ right $)=0$
$\$ \$$对于每个平滑变化 \mathbb{R} \times I \rightarrow M: s \mapsto \gamma_{s}(t) 的 \gamma 具有固定端点。因此，最小测地线是测地 线。 (iii) 最后，我们注意到 L(\gamma) (但不是 E(\gamma) )是独立的参数化 \gamma. 因此，如果 \gamma 是最小测地线， 则 L(\gamma) \leq L\left(\gamma^{\prime}\right) 对于每个 \gamma^{\prime}\left(\right. 从 p 至 q ) 然而 E(\gamma) \leq E\left(\gamma^{\prime}\right) 对于那些 \gamma^{\prime} 定义在（与长度相 同的间隔) I. 引理 4.4 .1 的证明 我们证明 (i) 䡞含 (ii)。让 c 是 (常数) 值 |\dot{\gamma}(t)|. 然后$$
$$## 数学代写|微分几何代写DIFFERENTIAL GEOMETRY代 写|Local Existence of Minimal Geodesics 定理 4.4.4 (最小测地线的存在) 让 M \subset \mathbb{R}^{n} 做一个光滑的 m 多方面的，固定一个点 p \in M ，然后让 r>0 小于注入半径 M 在 p. 让 v \in T_{p} M 这样 |v|<r. 然后$$
$$和一条曲线 \gamma \in \Omega p, q 有最小长度 L(\gamma)=|v| 当且仅当有一个平滑的map \beta:[0,1] \rightarrow[0,1] 令人满意的$$


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。