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# 数学代考|线性代数代考LINEAR ALGEBRA代考|MA405 LINEAR INDEPENDENCE

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## 数学代考|线性代数代考LINEAR ALGEBRA代考|LINEAR INDEPENDENCE

The homogeneous equations in Section $1.5$ can be studied from a different perspective by writing them as vector equations. In this way, the focus shifts from the unknown solutions of $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ to the vectors that appear in the vector equations.

For instance, consider the equation
$$x_{1}\left[\begin{array}{l} 1 \ 2 \ 3 \end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{l} 4 \ 5 \ 6 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{l} 2 \ 1 \ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \ 0 \ 0 \end{array}\right]$$
This equation has a trivial solution, of course, where $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$. As in Section $1.5$, the main issue is whether the trivial solution is the only one.
An indexed set of vectors $\left{\mathbf{v}{1}, \ldots, \mathbf{v}{p}\right}$ in $\mathbb{R}^{n}$ is said to be linearly independent if the vector equation
$$x_{1} \mathbf{v}{1}+x{2} \mathbf{v}{2}+\cdots+x{p} \mathbf{v}{p}=\mathbf{0}$$ has only the trivial solution. The set $\left{\mathbf{v}{1}, \ldots, \mathbf{v}{p}\right}$ is said to be linearly dependent if there exist weights $c{1}, \ldots, c_{p}$, not all zero, such that
$$c_{1} \mathbf{v}{1}+c{2} \mathbf{v}{2}+\cdots+c{p} \mathbf{v}{p}=\mathbf{0}$$ Equation (2) is called a linear dependence relation among $\mathbf{v}{1}, \ldots, \mathbf{v}{p}$ when the weights are not all zero. An indexed set is linearly dependent if and only if it is not linearly independent. For brevity, we may say that $\mathbf{v}{1}, \ldots, \mathbf{v}{p}$ are linearly dependent when we mean that $\left{\mathbf{v}{1}, \ldots, \mathbf{v}_{p}\right}$ is a linearly dependent set. We use analogous terminology for linearly independent sets.

## 数学代考|线性代数代考LINEAR ALGEBRA代考|Linear Independence of Matrix Columns

Suppose that we begin with a matrix $A=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{a}{1} & \cdots & \mathbf{a}{n}\end{array}\right]$ instead of a set of vectors. The matrix equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ can be written as
$$x_{1} \mathbf{a}{1}+x{2} \mathbf{a}{2}+\cdots+x{n} \mathbf{a}_{n}=\mathbf{0}$$
Each linear dependence relation among the columns of A corresponds to a nontrivial solution of $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$. Thus we have the following important fact.
The columns of a matrix $A$ are linearly independent if and only if the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ has only the trivial solution.
EXAMPLE 2 Determine if the columns of the matrix $A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 4 \ 1 & 2 & -1 \ 5 & 8 & 0\end{array}\right]$ are linearly independent.
SOLUTION To study $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$, row reduce the augmented matrix:
$$\left[\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 4 & 0 \ 1 & 2 & -1 & 0 \ 5 & 8 & 0 & 0 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 4 & 0 \ 0 & -2 & 5 & 0 \end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & -1 & 0 \ 0 & 1 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 13 & 0 \end{array}\right]$$
At this point, it is clear that there are three basic variables and no free variables. So the equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ has only the trivial solution, and the columns of $A$ are linearly independent.

## 数学代考|线性代数代考LINEAR ALGEBRA代考|LINEAR INDEPENDENCE

$$x_{1}\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{lll} 4 & 5 & 6 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

$$x_{1} \mathbf{v} 1+x 2 \mathbf{v} 2+\cdots+x p \mathbf{v} p=\mathbf{0}$$

$$c_{1} \mathbf{v} 1+c 2 \mathbf{v} 2+\cdots+c p \mathbf{v} p=\mathbf{0}$$

## 数学代考|线性代数代考LINEAR ALGEBRA代考|Linear Independence of Matrix Columns

$$x_{1} \mathbf{a} 1+x 2 \mathbf{a} 2+\cdots+x n \mathbf{a}_{n}=\mathbf{0}$$
$\mathrm{A}$ 的列之间的每个线性依赖关系对应于一个非平凡解 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$. 因此，我们有以下重要事 实。

$\left[\begin{array}{lllllllllllll}0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 5 & 8 & 0 & 0\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{lllllllllllllllllllllllllllllllllll}\end{array}\right.$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。