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# 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|PHY265 Inner Product or the Scalar Product

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## 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|Orthogonal Vectors

The inner product or the scalar product of two vectors $|X\rangle$ and $|Y\rangle$ is denoted by the notation $\langle X \mid Y\rangle$. The inner product has the following properties.

1. $\langle X \mid Y\rangle=\langle Y \mid X\rangle^{*}$
2. Positive Definite Property: $\langle X \mid X\rangle \geq 0$, where the equality holds iff $|X\rangle=|0\rangle$.
3. $\langle\alpha X \mid Y\rangle=\alpha\langle X \mid Y\rangle$
4. Linearity: $\langle X+Y \mid Z\rangle=\langle X \mid Z\rangle+\langle Y \mid Z\rangle$
5. $\langle X \mid Y+Z\rangle=\langle X \mid Y\rangle+\langle X \mid Z\rangle$
6. $\langle X+Y \mid X+Y\rangle=\langle X \mid X\rangle+\langle X \mid Y\rangle+\langle Y \mid X\rangle+\langle Y \mid Y\rangle$
The inner product produces a scalar value, in most cases, a complex number, and it is equivalent to the dot product in vectors.

Two vectors are said to be orthogonal or perpendicular if their inner product is zero.

## 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|Norm of the Vector

The following equation describes the length or the norm of the vector:
$$\sqrt{\langle V \mid V\rangle}=|V|$$
If this value is 1 , then the vector is said to be a normalized vector.

## 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|Orthonormal Basis

If a set of basis vectors are normalized and if they are orthogonal to each other, they can be termed as an orthonormal basis.
Let us assume:
\begin{aligned} \left|V_{a}\right\rangle &=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left|v_{i}\right\rangle \ \left|V_{b}\right\rangle &=\sum_{j=1}^{n} b_{j}\left|v_{j}\right\rangle \end{aligned}
Then the inner product of the two vectors can be written as:
$$\left\langle V_{a} \mid V_{b}\right\rangle=\sum_{i} \sum_{j} a_{i}^{} b_{j}\left\langle v_{i} \mid v_{j}\right\rangle$$ If the basis vectors $\left|v_{i}\right\rangle$ and $\left|v_{j}\right\rangle$ are orthonormal, then the following relation holds good: $$\left\langle v_{i} \mid v_{j}\right\rangle=\left{\begin{array}{l} 1, i=j \ 0, i \neq j \end{array}=\delta_{i j} .\right.$$ The function $\delta_{i j}$ is known as the “Kronecker” delta function. This function gives a value of 1 if the variables $i$ and $j$ are the same. Otherwise, the function returns a value of 0 . By applying this in the previous Eq. (2.59), we get: $$\left\langle V_{a} \mid V_{b}\right\rangle=\sum_{i} a_{i}^{} b_{i}$$
Since both the vectors $\left|V_{a}\right\rangle$ and $\left|V_{b}\right\rangle$ are uniquely specified by their respective components in the respective basis, we can write $\left|V_{a}\right\rangle$ and $\left|V_{b}\right\rangle$ as column vectors.
$$\left|V_{a}\right\rangle=\left[\begin{array}{c} a_{1} \ a_{2} \ \vdots \ a_{n} \end{array}\right] \text { and }\left|V_{b}\right\rangle=\left[\begin{array}{c} b_{1} \ b_{2} \ \vdots \ b_{n} \end{array}\right]$$
The inner product of the two vectors $\left|V_{a}\right\rangle$ and $\left|V_{b}\right\rangle$ can be written as the product of the transpose conjugate of $\left|V_{a}\right\rangle$ and $\left|V_{b}\right\rangle$.

## 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|Orthogonal Vectors

$\langle X \mid Y\rangle=\langle Y \mid X\rangle^{*}$

$\langle\alpha X \mid Y\rangle=\alpha\langle X \mid Y\rangle$

$\langle X \mid Y+Z\rangle=\langle X \mid Y\rangle+\langle X \mid Z\rangle$

$\langle X+Y \mid X+Y\rangle=\langle X \mid X\rangle+\langle X \mid Y\rangle+\langle Y \mid X\rangle+\langle Y \mid Y\rangle$

## 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|Norm of the Vector

$$\sqrt{\langle V \mid V\rangle}=|V|$$

## 物理代写|量子计算代写QUANTUM COMPUTING代写|Orthonormal Basis

$$\left|V_{a}\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left|v_{i}\right\rangle\left|V_{b}\right\rangle \quad=\sum_{j=1}^{n} b_{j}\left|v_{j}\right\rangle$$

$$\left\langle V_{a} \mid V_{b}\right\rangle=\sum_{i} \sum_{j} a_{i} b_{j}\left\langle v_{i} \mid v_{j}\right\rangle$$

$v_{-}{j}$-right $\mid$ rangle $=| l e f t{$
$$1, i=j 0, i \neq j$$
$=$ Idelta_{iij $\mid$ 对。
Thefunction $\$ \delta_{i j} \$i s k n o w n a s t h e |$ Kroneckerlldelta function.This functiongivesavalueof 1 ifthevariables\$i\$and $\$ j \$$arethesame. Veft Vlangle \vee_{-}{a} \backslash mid V_{-}{b} \backslash right|rangle =\backslash \mathrm{~ s u m _ { i } ~ a _ { i }} Sinceboththevectors \\left|V_{a}\right\rangle \ a n d \\left|V_{b}\right\rangle \areuniquelyspecifiedbytheirrespectivecomponentsintherespectivebasis, wecanwrite\ \left|V_{a}\right\rangle Veft|V__a}\right|rangle=《left [$$
a_{1} a_{2} \vdots a_{n}
$$Iright] Itext { 和 } |left|V_{b}|right|rangle=|left[$$
b_{1} b_{2} \vdots b_{n}
$$Iright] \ \$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。