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# 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|PGF5003 Electromagnetic waves in vacuum

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## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|Wave equations

Let us return to the Maxwell system in differential form (2.28)-(2.31). Dynamic equations (changes with time) link electric field with the magnetic one. There exists, however, a possibility of a separation of the fields that follows from the linear character of the equations with coefficients that do not depend on independent variables $\vec{r}, t$
Consider III and IV Maxwell equations:
$$\begin{gathered} \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=-\nabla \times \vec{E}, \ \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\nabla \times \vec{B}-\frac{4 \pi}{c} \vec{j} . \end{gathered}$$
Differentiating equation (3.1b) with respect to time, dividing by $c$, we obtain
$$\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}=\nabla \times \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}-\frac{4 \pi}{c^{2}} \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} .$$
Next, equation (3.2) is plugging into equation (3.1a), taking the identity $-\nabla \times(\nabla \times \vec{E})=-\nabla(\nabla \cdot \vec{E})+\nabla^{2} \vec{E}$ and the first Maxwell equation (2.28) into account having
(C) IOP Publishing Ltd 2020
$$\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}=\Delta \vec{E}-\nabla(4 \pi \rho)-\frac{4 \pi}{c^{2}} \frac{\partial \vec{j}}{\partial t}$$

## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|Harmonic plane wave in vacuum without charges

Let us introduce some restrictions related to sources of electromagnetic field: the absence of charges in a domain. it means the zero values of $\rho=0, \vec{j}=0$ in Maxwell equations in the domain. The wave equation (3.4) for electric field simplifies because of $\vec{f}=0$ in other words it takes the homogeneous form
$$\square \vec{E}=0 .$$
This is the system of differential equations of the second order
$$\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial z^{2}}, \quad i=1,2,3 .$$
Remember the condition (I Maxwell equation)
$$\operatorname{div} \vec{E}=0 \text {, }$$
that is valid in any time $t$.
Consider a solution of the system (3.6) by the Fourier method. The main idea of the method is a division of variables, i.e.
$$E_{1}(t, x, y, z)=T(t) X(x) Y(y) Z(z),$$
next, after integration by separation parameters, which act as the components of the wave vector $\vec{k}: k_{i}, \quad i=1,2,3$, one can built a general solution. The real exemplary particular solution of the wave equation is written as:
$$E_{i}=E_{i 0} e^{i(\vec{k} \vec{r}-\omega t)}+c . c .=2\left|E_{i 0}\right| \cos \left(\vec{k} \vec{r}-\omega t+\psi_{i}\right)$$

## 物理代写|电动力学作业代写Electrodynamics代考|Wave equations

$$\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=-\nabla \times \vec{E}, \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\nabla \times \vec{B}-\frac{4 \pi}{c} \vec{j}$$
$$\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}=\nabla \times \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}-\frac{4 \pi}{c^{2}} \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} .$$

$-\nabla \times(\nabla \times \vec{E})=-\nabla(\nabla \cdot \vec{E})+\nabla^{2} \vec{E}$ 和第一个麦克斯韦方程 $(2.28)$ 考虑到
(C) IOP Publishing Ltd 2020
$$\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}=\Delta \vec{E}-\nabla(4 \pi \rho)-\frac{4 \pi}{c^{2}} \frac{\partial \vec{j}}{\partial t}$$

## 物理代写|电动力学作业代写 Electrodynamics代考|Harmonic plane wave in vacuum without charges

$$\square \vec{E}=0 .$$

$$\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial z^{2}}, \quad i=1,2,3 .$$

$$\operatorname{div} \vec{E}=0,$$

$$E_{1}(t, x, y, z)=T(t) X(x) Y(y) Z(z),$$

$$E_{i}=E_{i 0} e^{i(\vec{k} \vec{r}-\omega t)}+c . c .=2\left|E_{i 0}\right| \cos \left(\vec{k} \vec{r}-\omega t+\psi_{i}\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。