Posted on Categories:物理代写, 统计力学

# 物理代写|统计力学代写STATISTICAL MECHANICS代写|PH4202 Liouville’s Theorem and Measure

avatest™

avatest.org统计力学Statistical Mechanics代写，免费提交作业要求， 满意后付款，成绩80\%以下全额退款，安全省心无顾虑。专业硕 博写手团队，所有订单可靠准时，保证 100% 原创。avatest.org， 最高质量的统计力学Statistical Mechanics作业代写，服务覆盖北美、欧洲、澳洲等 国家。 在代写价格方面，考虑到同学们的经济条件，在保障代写质量的前提下，我们为客户提供最合理的价格。 由于统计Statistics作业种类很多，同时其中的大部分作业在字数上都没有具体要求，因此统计力学Statistical Mechanics作业代写的价格不固定。通常在经济学专家查看完作业要求之后会给出报价。作业难度和截止日期对价格也有很大的影响。

avatest.org™ 为您的留学生涯保驾护航 在物理Physical代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的物理Physical代写服务。我们的专家在统计力学Statistical Mechanics代写方面经验极为丰富，各种统计力学Statistical Mechanics相关的作业也就用不着 说。

## 物理代写|统计力学代写STATISTICAL MECHANICS代写|Liouville’s Theorem

Theorem $3.4$ (Liouville’s theorem) With the above notation, we have, $\forall t \in \mathbb{R}$ :
$\frac{d V(t)}{d t}=0$
In order to prove Liouville’s theorem, let us consider a more general system:
$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),$$
where $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{M}$, and $\mathbf{f}: \mathbb{R}^{M} \rightarrow \mathbb{R}^{M}$. We assume that $\mathbf{f}$ is such that solutions of (3.4.2) exist for all times. Let $\Phi^{t}$ be the flow, similar to the Hamiltonian flow, but associated to (3.4.2) and let, as before, $D$ be a subset of finite measure of $\mathbb{R}^{M}$ and $V(t)=\left|\Phi^{t}(D)\right|$. Then, we have the

Theorem 3.5 (Generalized Liouville’s theorem) With the above notation, we have, $\forall t \in \mathbb{R}:$
$$\frac{d V(t))}{d t}=\int_{\Phi^{\prime}(D)} \operatorname{div} \mathbf{f} d x$$
where div $\mathbf{f}=\sum_{i=1}^{m} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{i}}$.

## 物理代写|统计力学代写STATISTICAL MECHANICS代写|The Liouville Measure

We noticed in Sect. 3.3.2 that the constant energy surfaces $S_{E_{0}}$ are invariant under the Hamiltonian flow. We also know from Liouville’s theorem that the Lebesgue measure of sets in $\mathbb{R}^{6 N}$ is invariant under the Hamiltonian flow. But any constant energy surface is of zero Lebesgue measure in $\mathbb{R}^{6 N}$ for non-trivial Hamiltonians, which makes Liouville’s theorem rather vacuous if one applies it to the subsets of a constant energy surface $S_{E_{0}}$.

Fortunately one can define a measure, the Liouville measure, that is concentrated on any given constant energy surface $S_{E_{0}}$ and such that the Liouville measure of sets in $S_{E_{0}}$ is invariant under the Hamiltonian flow.

To define that measure, we need the notion of a surface measure $d S$ on any smooth manifold $\mathcal{M}$ so that, for $A \subset \mathcal{M}, \int_{A} d S$ gives the area of $A$. For example, if $\mathcal{M}$ is the $n-1$-sphere of radius 1 (the unit sphere in $\mathbb{R}^{n}$ ) which can be parametrized by $n-1$ angles $\phi_{1}, \ldots, \phi_{n-1}$, the measure $d S$ equals:
$$d S=\sin ^{n-2}\left(\phi_{n-1}\right) \sin ^{n-3}\left(\phi_{n-2}\right) \ldots \sin \left(\phi_{2}\right) d \phi_{1} \ldots d \phi_{n-1}$$
which, for $n=2$ gives the familiar formula on the circle $d S=d \phi$ and, for $n=3$ gives, for the sphere, $d S=\sin \left(\phi_{2}\right) d \phi_{1} d \phi_{2}$ (where $\phi_{2}$ is often denoted $\theta$ ). For a $n-1$-sphere of radius $R, d S$ is given by (3.4.9) multiplied by $R^{n-1}$.
Now, fix $E_{0}$. The Liouville measure on $S_{E_{0}}$ is, at least formally:
$$\delta\left(H(\mathbf{q}, \mathbf{p})-E_{0}\right) d \mathbf{q} d \mathbf{p}$$

## 物理代写|统计力学代写STATISTICAL MECHANICS代写|Liouville’s Theorem

$\frac{d V(t)}{d t}=0$

$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x}),$$

$$\frac{d V(t))}{d t}=\int_{\Phi^{\prime}(D)} \operatorname{div} \mathbf{f} d x$$

## 物理代写|统计力学代写STATISTICAL MECHANICS代写|The Liouville Measure

$$d S=\sin ^{n-2}\left(\phi_{n-1}\right) \sin ^{n-3}\left(\phi_{n-2}\right) \ldots \sin \left(\phi_{2}\right) d \phi_{1} \ldots d \phi_{n-1}$$

$d S=\sin \left(\phi_{2}\right) d \phi_{1} d \phi_{2}$ （在哪里 $\phi_{2}$ 经常表示 $\left.\theta\right)$ 。为一个 $n-1$ – 半径范围 $R, d S$ 由 (3.4.9)

$$\delta\left(H(\mathbf{q}, \mathbf{p})-E_{0}\right) d \mathbf{q} d \mathbf{p}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。