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商科代写|高维数据分析代考HIGH-DIMENSIONAL DATA ANALYSIS代考|DATA5441 A data-driven procedure for dependent tests in an HMM

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The oracle procedure is difficult to implement since $c_{O R}$ is difficult to calculate. In addition, the HMM parameters $\vartheta$ are usually unknown. Sun and Cai (2009) derived a data-driven procedure that mimics the oralce procedure. We first estimate the unknown quantities by $\hat{\vartheta}$, then plug-in $\hat{\vartheta}$ to obtain $\mathrm{LIS}_{i}$. The maximum likelihood estimate (MLE) is commonly used and is strongly consistent and asymptotically normal under certain regularity conditions (Baum and Petrie, 1966; Leroux, 1992; Bickel et al., 1998). The MLE can be computed using the EM algorithm or other standard numerical optimization schemes, such as the gradient search, or downhill simplex algorithm. These methods are reviewed by Ephraim and Merhav (2002). In many practical applications, the number of components in the non-null mixture $L$ is unknown, yet the information is needed by the algorithms used to maximize the likelihood function. Consistent estimates of $L$ can be obtained using the method proposed by Kiefer (1993) and Liu and Narayan (1994), among others. Alternately, one can use likelihood based criteria, such as Akaike or Bayesian information criterion (BIC) to select the number of components in the normal mixture.

Let $\hat{\vartheta}$ be an estimate of the HMM parameter $\vartheta$. Define the plug-in test statistic $\mathrm{LIS}{i}(\boldsymbol{x})=P{\hat{\vartheta}}\left(\theta_{i}=0 \mid x\right)$. For given $\hat{\vartheta}, \mathrm{LIS}{i}$ can be computed via the forward-backward procedure. Denote by $\mathrm{LIS}{(1)}(\boldsymbol{x}), \ldots, \mathrm{LIS}{(m)}(\boldsymbol{x})$ the ranked plugin test statistics and $H{(1)}, \ldots, H_{(m)}$ the corresponding hypotheses. In light of the oracle procedure, we propose the following data-driven procedure:
Let $k=\max \left{i: \frac{1}{i} \sum_{j=1}^{i} \operatorname{LIS}{(j)}(x) \leqslant \alpha\right}$, then reject all $H{(i)}, i=1, \ldots, k$.
The testing procedure given in $(5.5)$ is referred to as the LIS procedure. We shall show that the performance of OR is asymptotically attained by LIS under some standard assumptions on the HMM. The asymptotic properties of the LIS procedure are studied by the following theorems. Theorem $5.3$ shows that the rejection sets yielded by OR and LIS are asymptotically equivalent in the sense that the ratio of the number of rejections and the ratio of the number of true positives yielded by the two procedures approach 1 as $m \rightarrow \infty$.

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We first assume that $L$, the number of components in non-null mixture, is known or estimated correctly from the data. The situation where $L$ is misspecified is considered in Sun and Cai (2009). In all simulations, we choose the number of hypotheses $m=3000$ and the number of replications $N=500$.

Example 5.5. The Markov chain $\left(\theta_{i}\right){1}^{m}$ is generated with the initial state distribution $\pi^{0}=\left(\pi{0}, \pi_{1}\right)=(1,0)$ and transition matrix $\mathcal{A}=\left[0.95,0.05 ; 1-a_{11}, a_{11}\right]$. The observations $\left(x_{i}\right){1}^{m}$ are generated conditional on $\left(\theta{i}\right){1}^{m}: x{i} \mid \theta_{i}=0 \sim N(0,1)$, $x_{i} \mid \theta_{i}=1 \sim N(\mu, 1)$. Figure $5.2$ compares the performance of BH, AP, OR and LIS. In the top row we choose $\mu=2$ and plot the FDR, FNR and average number of true positives (ATP) yielded by BH, AP, OR and LIS as functions of $a_{11}$. In the bottom row, we choose $a_{11}=0.8$ and plot the FDR, FNR and ATP as functions of $\mu$. The nominal FDR in all simulations is set at level $0.10$.

From Panel (a), we can see that the FDR levels of all four procedures are controlled at $0.10$ asymptotically, and the $\mathrm{BH}$ procedure is conservative. From Panels (b) and (c), we can see that the two lines of the oracle procedure and LIS procedure are almost overlapped, indicating that the performance of the oracle procedure is attained by the LIS procedure asymptotically. In addition, the two $p$-value based procedures are dominated by the LIS procedure and the difference in FNR and ATP levels becomes larger as $a_{11}$ increases. Note that $a_{11}$ is the transition probability from a non-null case to a non-null case, therefore it controls how likely the non-null cases cluster together. It is interesting to observe that the $p$-value procedures have higher FNR levels as the non-nulls cluster in larger groups. In contrast, the FNR levels of the LIS procedure decreases as $a_{11}$ increases. This observation shows that if modeled appropriately, the positive dependency is a blessing (the FNR level decreases in $a_{11}$ ); but if it is ignored, the positive dependency may become a disadvantage. In situations where the non-null cases are prevented from forming into clusters $\left(a_{11}<0.5\right)$, the LIS procedure is still more efficient than BH and AP, although the gain in efficiency is not as much as the situation where $a_{11}>0.5$.

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高维数据分析代考

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(2009) 推导出了一个模仿 oracle 程序的数据驱动程序。我们首先估计末知量 $\hat{\vartheta}$, 然后揷件 $\hat{\vartheta}$ 获得LIS $L_{i}$. 最大似然估计 (MLE) 是常用的,并且在某些规律性条件下具有很强的一致性 和渐近正态性 (Baum 和 Petrie,1966;Leroux,1992;Bickel 等人,1998) 。可以 使用 EM 算法或其他标准数值优化方空 (例如梯度搜索或下坡单纯形算法) 来计算 MLE。Ephraim 和 Merhav (2002) 回顾了这些方法。在许多实际应用中,非零混合中的 成分数量 $L$ 是末知的,但用于最大化似然函数的算法需要这些信息。一致的估计 $L$ 可以使 用 Kiefer (1993) 以及 Liu 和 Narayan (1994) 等人提出的方法获得。或者,可以使用基于 可能性的标准,例如 Akaike 或贝叶斯信息标准 (BIC) 来选择正常混合中的成分数量。
让 $\hat{\vartheta}$ 是 HMM 参数的估计值 $\vartheta$. 定义揷件测试统计LIS $i(\boldsymbol{x})=P \hat{\vartheta}\left(\theta_{i}=0 \mid x\right)$. 对于给定的 $\hat{\vartheta}, \operatorname{LIS} i$ 可以通过前后过程计算。表示为 $\operatorname{LIS}(1)(\boldsymbol{x}), \ldots, \operatorname{LIS}(m)(\boldsymbol{x})$ 排名揷件测试统计和 $H(1), \ldots, H_{(m)}$ 相应的假设。根据预言机程序,我们提出以下数据驱动程序
: \eft 的分隔符缺失或无法识别
,然后拒绝所有 $H(i), i=1, \ldots, k$.
中给出的测试程序 (5.5)称为 LIS 程序。我们将证明,在 HMM 的一些标准假设下,LIS 可 以渐近地获得 $O R$ 的性能。LIS 过程的渐近性质由以下定理研究。定理 $5.3$ 表明 $O R$ 和 $L I S$ 产生的拒绝隹是渐近等价的,因为两个过程产生的拒绝数之比和真阳性数之比接近 1 $m \rightarrow \infty$


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我们首先假设 $L$ ,非零混合中的成分数,从数据中已知或正确估计。那里的情况 $L$ 在 Sun 和 Cai (2009) 中考虑了错误指定。在所有模拟中,我们选择假设的数量 $m=3000$ 和复制 次数 $N=500$.
例 5.5。马尔可夫链 $\left(\theta_{i}\right) 1^{m}$ 用初始状态分布生成 $\pi^{0}=\left(\pi 0, \pi_{1}\right)=(1,0)$ 和转移矩阵 $\mathcal{A}=\left[0.95,0.05 ; 1-a_{11}, a_{11}\right]$. 观察结果 $\left(x_{i}\right) 1^{m}$ 生成的条件是
$(\theta i) 1^{m}: x i\left|\theta_{i}=0 \sim N(0,1), x_{i}\right| \theta_{i}=1 \sim N(\mu, 1)$. 数字5.2比较 BH、AP、OR 和 LIS 的性能。在第一行我们选择 $\mu=2$ 并绘制由 $\mathrm{BH}$ 、AP、OR 和 LIS 产生的 FDR、FNR 和平 均真阳性数 (ATP) 作为函数 $a_{11}$. 在底行,我们选择 $a_{11}=0.8$ 并将 FDR、FNR 和 ATP 绘 制为 $\mu$. 所有模拟中的名义 FDR 均设置为水平 $0.10$.
从面板 (a),我们可以看到所有四个程序的 FDR 水平都控制在 $0.10$ 渐近地,并且BH程序 保守。从面板 (b) 和 (c) 可以看出,oracle 程序和 LIS 程序的两行几乎重最,表明 oracle 程序的性能是由 LIS 程序渐近实现的。此外,两人 $p$ 基于值的程序以 LIS 程序为主,FNR 和 ATP 水平的差异随着 $a_{11}$ 增加。注意 $a_{11}$ 是从非空䅁例到非空案例的转移概率,因此它 控制非空案例聚集在一起的可能性。有趣的是观䕓到 $p$ 直程序具有更高的 FNR 水平,因为 非空值集群在更大的组中。相反,LIS 程序的 FNR 水平随着 $a_{11}$ 增加。这一观察表明,如 果建模得当,正依赖是一件好事(FNR 水平在 $\left.a_{11}\right)$; 但如果态略它,正依赖可能会成为劣 势。在防止非空案例形成集群的情况下 $\left(a_{11}<0.5\right)$ ,LIS 过程仍然比 BH 和 AP 更有效, 尽管效率上的增益不如 $a_{11}>0.5$.

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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