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商科代写|高维数据分析代考HIGH-DIMENSIONAL DATA ANALYSIS代考|Large-scale multiple testing under dependence
Observations arising from large scale multiple comparison problems are often dependent. For example, in microarray experiments, different genes may cluster into groups along biological pathways and exhibit high correlation. In public health surveillance studies, the observed data from different time periods and locations are often serially or spatially correlated. Correlation has big effects on a multiple testing procedure. Finner and Roters (2002) and Owen (2005) showed that both the expectation and variance of the number of Type I errors are greatly affected by the correlation among the hypotheses. Qiu et al. (2005) noted that the correlation effects can substantially deteriorate the performance of many $\mathrm{FDR}$ procedures. The correlation effects on the $z$-value null distribution is studied by Efron (2007), who suggested that an adjusted FDR estimate should be combined with the use of an Lfdr procedure to remove the bias caused by the correlation. Nevertheless, the works by Benjamini and Yekutieli (2001), Farcomeni (2006) and Wu (2009) show that the FDR is controlled at the nominal level by the BH step-up and adaptive $p$-value procedure under different dependence assumptions, supporting the “do nothing” approach.
Among the suggestions with respect to the correlation effects on an FDR procedure, the validity issue is overemphasized, and the efficiency issue is ignored. The FDR procedures developed under the independence assumption, even valid, may suffer from substantial efficiency loss when the dependence structure is highly informative. These situations include the geographical disease mapping studies, multiple-stage clinical trials, functional Magnetic Resonance Imaging analyses and comparative microarray experiments, where the non-null cases are often structured in some way, e.g., correlated temporally, spatially or functionally. Benjamini and Heller (2007) and Genovese et al. (2005) suggested incorporating scientific or spatial information into a multiple testing procedure to improve the efficiency. However, their approaches essentially rely on prior information, such as well defined clusters or prespecified weights, and the correlation structure among the hypotheses is not modeled.
商科代写|高维数据分析代考HIGH-DIMENSIONAL DATA ANALYSIS代考|The oracle procedure
Let $\delta \in{0,1}^{m}$ be a general decision rule defined as before. Sun and Cai (2009) showed that under the HMM dependency and a monotone ratio condition, the multiple testing problem is equivalent to a weighted classification problem with loss function
$$
L_{\lambda}(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\delta})=\frac{1}{m} \sum_{i}\left[\lambda\left(1-\theta_{i}\right) \delta_{i}+\theta_{i}\left(1-\delta_{i}\right)\right] .
$$
It can be shown that the optimal solution to the weighted classification problem is $\boldsymbol{\delta}(\boldsymbol{\Lambda}, 1 / \lambda)=\left(\delta_{1}, \ldots, \delta_{m}\right)$, where
$$
\Lambda_{i}(x)=\frac{P_{\vartheta}\left(\theta_{i}=0 \mid x\right)}{P_{\vartheta}\left(\theta_{i}=1 \mid x\right)}
$$
and $\delta_{i}=I\left{\Lambda_{i}(\boldsymbol{x})<1 / \lambda\right}$ for $i=1, \ldots, m$.
Remark 5.1. Given $\vartheta$, the oracle classification statistic $\Lambda_{i}(x)$ can be expressed in terms of the forward and backward density variables, which are defined as $\alpha_{i}(j)=f_{\vartheta}\left[\left(x_{t}\right){1}^{i}, \theta{i}=j\right]$ and $\beta_{i}(j)=f_{\vartheta}\left[\left(x_{t}\right){i+1}^{m} \mid \theta{i}=j\right]$, respectively (note that the dependence of $\alpha_{i}(j)$ on $\left(x_{t}\right){1}^{i}$ has been suppressed, similarly for $\left.\beta{i}(j)\right)$. It can be shown that $P_{\vartheta}\left(x, \theta_{i}=j\right)=\alpha_{i}(j) \beta_{i}(j)$ and hence $\Lambda_{i}(x)=\left[\alpha_{i}(0) \beta_{i}(0)\right] /\left[\alpha_{i}(1) \beta_{i}(1)\right]$. The forward variable $\alpha_{i}(j)$ and backward variable $\beta_{i}(j)$ can be calculated recursively using the forward-backward procedure (Baum et al. 1970 and Rabiner 1989). Specifically, we initialize $\alpha_{1}(j)=\pi_{j} f_{j}\left(x_{1}\right), \beta_{m}(j)=1$, then by induction we have $\alpha_{i+1}(j)=\left[\sum_{k=0}^{1} \alpha_{i}(k) a_{k j}\right] f_{j}\left(x_{i+1}\right)$ and $\beta_{i}(j)=\sum_{k=0}^{1} a_{j k} f_{k}\left(x_{i+1}\right) \beta_{i+1}(k)$.
Since $\Lambda_{i}(\boldsymbol{x})$ is increasing in $P_{\vartheta}\left(\theta_{i}=0 \mid x\right)$, an optimal multiple-testing rule in an HMM can be written in the form of $\delta=\left[I\left{P_{\vartheta}\left(\theta_{i}=0 \mid \boldsymbol{x}\right)<t\right}: i=1, \ldots, m\right]$. Define the local index of significance (LIS) for hypothesis $i$ by
$$
\mathrm{LIS}{i}=P{\vartheta}\left(\theta_{i}=0 \mid \boldsymbol{x}\right) .
$$
商科代写|高维数据分析代考HIGH-DIMENSIONAL DATA ANALYSIS代考|Simulation studies
考虑以下两组正态混合模型：
$$
X_{k i} \sim\left(1-p_{k}\right) N\left(\mu_{k 0}, \sigma_{k 0}^{2}\right)+p_{k} N\left(\mu_{k}, \sigma_{k}^{2}\right), k=1,2 .
$$
PLfdr、SLfdr 和 CLfdr 程序的数值性能将在接下来的模拟研究中进行研究。名义上的全 球 FDR 水平是0.10.
例 4.5。两组的零分布固定为 $N(0,1)$. 考虑了三种模拟设置: (i) 组大小为 $m_{1}=3000$ 和 $m_{2}=1500$; 组混合 $p d f$ 是 $f_{1}=\left(1-p_{1}\right) N(0,1)+p_{1} N(-2,1)$ 和 $f_{2}=$
$0.9 N(0,1)+0.1 N(4,1)$. 我们不一样 $p_{1}$ ，第 1 组中非空值的比例，并将 FDR 和 FNR 水 平绘制为 $p_{1}$. (ii) 组的大小也是 $m_{1}=3000$ 和 $m_{2}=1500$; 组混合pdf是
$f_{1}=0.8 N(0,1)+0.2 N\left(\mu_{1}, 1\right)$ 和 $f_{2}=0.9 N(0,1)+0.1 N\left(2,0.5^{2}\right)$. FDR 和 FNR 水平 绘制为 $\mu_{1}$. (iii) 边际 pdf 是 $f_{1}=0.8 N(0,1)+0.2 N\left(-2,0.5^{2}\right)$ 和
$f_{2}=0.9 N(0,1)+0.1 N(4,1)$. 第 2 组的样本量固定为 $m_{2}=1500$, FDR 和 FNR 水平被 绘制为函数 $m_{1}$. 图 $4.3$ 给出了 500 次重复的模拟结果。第一行比较了三个程序的实际 FDR 水平；设置 (i)、(ii) 和 (iii) 的结果分别显示在面板 (a)、(b) 和 (c) 中。还提供了
CLfdr 程序的分组 FDR 水平（第 1 组的虚线和第 2 组的虚线）。最下面一行比较了三个 程序的 FNR 水平；设置 (i)、(ii) 和 (iii) 的结果分别显示在面板 (d)、 (e) 和 (f) 中。
我们可以看到，所有三个程序都将全局 FDR 水平控制在名义水平 $0.10$ ，表明所有三个过 程都是有效的。需要注意的是，CLfdr 程序会自动选择按组的 FDR 水平 (面板 (a)-(c) 中 的虚线和虚线)，并且水平通常不同于标称水平 0.10。PLfdr 与 SLfdr 的相对效率尚无定 论 (取决于模拟设置) 。例如，SLfdr 程序在图 (d) 中产生较低的 FNR 水平，但在图 (f) 中产生较高的 FNR 水平。然而，所有的模拟都表明 PLfdr 和 SLfdr 程序都由 CLfdr 程序 统一控制。
商科代写|高维数据分析代考HIGH-DIMENSIONAL DATA ANALYSIS代考|A case study
我们现在回到引言中提到的充分年度进展 (AYP) 研究。在本节中，我们分析从收集的数 据 $m=7867$ 使用 PLfdr、SLfdr 和 CLfdr 程序进行的加利福尼亚高中 (Rogosa 2003)。
AYP 研究的一个目标是比较社会经济优势 (SEA) 与社会经济嵶势 (SED) 学生的数学考试 成功率。由于 SEA 学生的平均成功率通常 (7867 所学校中的 7370 所) 高于 SED 学 生，因此有必要确定一个学校的子集，在这些学校中，优势与劣势的表现差异异常小或 大。表示为 $X_{i}$ 和 $Y_{i}$ 成功率，以及 $n_{i}$ 和 $n_{i}^{\prime}$ 在校 SEA 和 SED 学生报告的分数数量 $i$,
$i=1, \ldots, m$. 定义居中常数 $\Delta=\operatorname{median}\left(X_{i}\right)-\operatorname{median}\left(Y_{i}\right) .$ 一个 $z$ 可以为每所学校计算 比较 SEA 学生与 SED 学生的值:
$$
z_{i}=\frac{X_{i}-Y_{i}-\Delta}{\sqrt{X_{i}\left(1-X_{i}\right) / n_{i}+Y_{i}\left(1-Y_{i}\right) / n_{i}^{\prime}}},
$$
为了 $i=1, \ldots, m$. 我们声称学校 $i$ 如果观察到的是 “有趣的” $\left|z_{i}\right|$ 很大。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。