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数学代写|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|CSCI270 A polynomial-time algorithm for paths with a bounded number of colors

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We complement here the results of the two preceding sections by showing that the MIN-CC problem for paths is polynomial-time solvable in case the motif is built upon a fixed number of colors. Observe, however, that each color may still have an unbounded number of occurrences in the motif.

In what follows we describe a dynamic programming algorithm for this case. The basic idea of our approach is as follows. Suppose we are left by the algorithm with the problem of finding an occurrence of a submotif $\mathcal{M}^{\prime} \subseteq \mathcal{M}$ in the subpath $G^{\prime}$ of $G$ induced by ${i, i+1, \ldots, j}, 1 \leq i<j \leq n$. Furthermore, suppose that any occurrence of $\mathcal{M}^{\prime}$ in $G^{\prime}$ results in at least $k^{\prime}$ connected components. This minimum number of occurrences $k^{\prime}$ can be computed as follows. Assume that we have found one leftmost connected component $C_{\text {left }}$ of the occurrence of $\mathcal{M}^{\prime}$ in $G^{\prime}$ and let $i_{2}, i \leq i_{2}<j$, be the rightmost (according to the natural order of the vertices) vertex of $C_{\text {left }}$. Let $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ be the motif obtained from $\mathcal{M}^{\prime}$ by subtracting to each color $c_{\ell} \in \mathcal{C}$ the number of occurrences of color $c_{\ell}$ in the leftmost connected component $C_{\text {left }}$. Then the occurrence of $\mathcal{M}^{\prime}$ in $G^{\prime}$ is given by $\left{i_{2}+1, i_{2}+2, \ldots, j\right}$, which results in $k^{\prime}-1$ connected components. From an optimization point of view, the problem thus reduces to finding a subpath $\left{i_{1}, i_{1}+\right.$ $\left.1, \ldots, i_{2}\right}, i \leq i_{1} \leq i_{2}<j$, such that the occurrence of the motif $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ modified according to the colors in $\left{i_{1}, i_{1}+1, \ldots, i_{2}\right}$ in the subpath induced by $\left{i_{2}+\right.$ $\left.1, i_{2}+2, \ldots, j\right}$ results in a minimum number of connected components.

Let $(G, \mathcal{M})$ be an instance of the MıN-CC problem where $G$ is a (vertexcolored) path built upon the set of colors $\mathcal{C}$. For ease of exposition, write $\mathbf{V}(G)=$ ${1,2, \ldots, n}$ and $q=|\mathcal{C}|$. We denote by $m_{i}$ the number of occurrences of color $c_{i} \in \mathcal{C}$ in $\mathcal{M}$. Clearly, $\sum_{c_{i} \in \mathcal{C}} m_{i}=|\mathcal{M}|$. We now introduce our dynamic programming table $T$. Define $T\left[i, j ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right], 1 \leq i \leq j \leq n$ and $0 \leq p_{\ell} \leq m_{\ell}$ for $1 \leq \ell \leq q$, to be the minimum number of connected components in the subpath of $G$ that starts at node $i$, ends at node $j$ and that covers $p_{\ell}$ occurrences of color $c_{\ell}, 1 \leq \ell \leq q$. The base conditions are as follows:

  • for all $1 \leq i \leq j \leq n, T[i, j ; 0,0, \ldots, 0]=0$ and $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ if $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}>1$
  • for all $1 \leq i \leq n, T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ if $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=1$ and $\lambda(i) \neq c_{\ell}$ and $p_{\ell}=1$, and $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=1$ if $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=$ 1 and $\lambda(i)=c_{\ell}$ and $p_{\ell}=1$.

数学代写|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|Hardness of approximation for trees

We investigate in this section approximation issues for restricted instances of the MIN-CC problem. Unfortunately, as we shall now prove, it turns out that, even if $\mathcal{M}$ is a set and $G$ is a tree, the MıN-CC problem cannot be approximated within ratio $c \log n$ for some constant $c>0$, where $n$ is the size of the target graph $G$. As a side result, we prove that the MIN-CC problem is W[2]-hard when parameterized by the number of connected components of the occurrence of $\mathcal{M}$ in the target graph $G$.

At the core of our proof is an L-reduction [12] from the SET-COVER problem. Let $I$ be an arbitrary instance of the SET-COVER problem consisting of a universe set $X(I)=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right}$ and a collection of sets $\mathcal{S}(I)=S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{m}$, each over $X(I)$. For each $1 \leq i \leq m$, write $t_{i}=\left|S_{i}\right|$ and denote by $e_{j}\left(S_{i}\right)$, $1 \leq j \leq t_{i}$, the $j$-th element of $S_{i}$. For ease of exposition, we present the corresponding instance of the MIN-CC problem as a rooted tree $G$. We construct the tree $G$ as follows (see Fig. 1). Define a root $r$ and vertices $S_{1}^{\prime}, S_{2}^{\prime}, \ldots, S_{m}^{\prime}$ such that each vertex $S_{i}^{\prime}$ is connected to the root $r$. For each $S_{i}^{\prime}$ define the subtree $G\left(S_{i}^{\prime}\right)$ rooted at $S_{i}^{\prime}$ as follows: each vertex $S_{i}^{\prime}$ has a unique child $S_{i}$ and each vertex $S_{i}$ has children $e_{1}\left(S_{i}\right), e_{2}\left(S_{i}\right), \ldots, e_{t_{i}}\left(S_{i}\right)$. The set of colors $\mathcal{C}$ is defined as follows: $\mathcal{C}=\left{c\left(S_{i}\right): 1 \leq i \leq m\right} \cup\left{c\left(x_{j}\right): 1 \leq j \leq n\right} \cup{c(r)}$. The coloring mapping $\lambda: \mathbf{V}(G) \rightarrow \mathcal{C}$ is defined by: $\lambda\left(S_{i}\right)=\lambda\left(S_{i}^{\prime}\right)=c\left(S_{i}\right)$ for $1 \leq i \leq m$, $\lambda\left(x_{j}\right)=c\left(x_{j}\right)$ for $1 \leq j \leq n$ and $\lambda(r)=c(r)$. The motif $\mathcal{M}$ is the set defined as follows: $\mathcal{M}=\left{c\left(S_{i}\right): 1 \leq i \leq m\right} \cup\left{c\left(x_{i}\right): 1 \leq i \leq n\right} \cup{c(r)}$.

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我们在此补充前两节的结果,表明路径的 MIN-CC 问题是多项式时间可解决的,如果主题 建立在固定数量的颜色上。然而,请注意,每种颜色在主题中可能仍然有无限数量的出 现。
在下文中,我们描述了这种情况下的动态规划算法。我们的方法的基本思想如下。假设算 法给我们留下了寻找子母题出现的问题 $\mathcal{M}^{\prime} \subseteq \mathcal{M}$ 在子路径中 $G^{\prime}$ 的 $G$ 由…介绍 $i, i+1, \ldots, j, 1 \leq i<j \leq n$. 此外,假设任何发生 $\mathcal{M}^{\prime}$ 在 $G^{\prime}$ 至少导致 $k^{\prime}$ 连接的组件。这个 最小出现次数 $k^{\prime}$ 可以计算如下。假设我们找到了一个最左边的连通分量 $C_{\text {left }}$ 的发生 $\mathcal{M}^{\prime}$ 在 $G^{\prime}$ 然后让 $i_{2}, i \leq i_{2}<j$, 是最右边的 (根据顶点的自然顺序) 顶点 $C_{\text {left }}$. 让 $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ 是从获得的 $\mathcal{M}^{\prime}$ 在 $G^{\prime}$ 是 (谁) 给的 \left 的分隔符缺失或无法识别
\left 的分隔符缺失或无法识别,,这样主题的出现 $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ 根据颜色修改
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让 $(G, \mathcal{M})$ 是 $\mathrm{MIN}-\mathrm{CC}$ 问题的一个实例,其中 $G$ 是建立在一组颜色之上的(顶点着色的) 路径 $\mathcal{C}$. 为了便于说明,写 $\mathbf{V}(G)=1,2, \ldots, n$ 和 $q=|\mathcal{C}|$. 我们表示 $m_{i}$ 颜色出现的次数 $c_{i} \in \mathcal{C}$ 在 $\mathcal{M}$. 清楚地, $\sum_{c i \in \mathcal{C}} m_{i}=|\mathcal{M}|$. 我们现在介绍我们的动态规划表 $T$. 定义 $T\left[i, j ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right], 1 \leq i \leq j \leq n$ 和 $0 \leq p_{\ell} \leq m_{\ell}$ 为了 $1 \leq \ell \leq q$, 是子路径中连接组件 的最小数量 $G$ 从节点开始 $i$, 结束于节点 $j$ 这涵盖了 $p_{\ell}$ 颜色的出现 $c_{\ell}, 1 \leq \ell \leq q$. 基本条件如 T:

对所有人 $1 \leq i \leq j \leq n, T[i, j ; 0,0, \ldots, 0]=0$ 和 $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ 如果 $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}>1$

对所有人 $1 \leq i \leq n, T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ 如果 $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=1$ 和 $\lambda(i) \neq c_{\ell}$ 和 $p_{\ell}=1$ , 和 $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=1$ 如果 $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=1$ 和 $\lambda(i)=c_{\ell}$ 和 $p_{\ell}=1$.

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我们在本节中研究 MIN-CC 问题的受限实例的近似问题。不幸的是,正如我们现在将证明 的那样,事实证明,即使 $\mathcal{M}$ 是一个集合并且 $G$ 是一棵树, $M \mathrm{~N}-\mathrm{CC}$ 问题不能在 ratio 内近 似 $c \log n$ 对于一些常数 $c>0$ ,在哪里 $n$ 是目标图的大小 $G$. 作为附带结果,我们证明了 MIN-CC 问题是 W[2]-hard 当参数化为 $\mathcal{M}$ 在目标图中 $G$.
我们证明的核心是来自 SET-COVER 问题的 L-reduction [12]。让 $I$ 是由全域集组成的 SET-COVER 问题的任意实例 $}$ lef $\mathrm{t}$ 的分隔符缺失或无法识别 和一组集合 $\mathcal{S}(I)=S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{m}$ ,每过 $X(I)$. 对于每个 $1 \leq i \leq m$ , 写 $t_{i}=\left|S_{i}\right|$ 并表示为 $e_{j}\left(S_{i}\right)$, $1 \leq j \leq t_{i} ,$ 这 $j$-第一个元素 $S_{i}$. 为了便于说明,我们将 MIN-CC 问题的相应实例表示为 有根树 $G$. 我们构建树 $G$ 如下(见图 1)。定义一个根 $r$ 和顶点 $S_{1}^{\prime}, S_{2}^{\prime}, \ldots, S_{m}^{\prime}$ 这样每个顶点 $S_{i}^{\prime}$ 连接到根 $r$. 对于每个 $S_{i}^{\prime}$ 定义子树 $G\left(S_{i}^{\prime}\right)$ 植根于 $S_{i}^{\prime}$ 如下: 每个顶点 $S_{i}^{\prime}$ 有一个独特的孩子 $S_{i}$ 和每个顶点 $S_{i}$ 有孩子 $e_{1}\left(S_{i}\right), e_{2}\left(S_{i}\right), \ldots, e_{t i}\left(S_{i}\right)$. 颜色组 $\mathcal{C}$ 定义如下:
\left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 着色映射 $\lambda: \mathbf{V}(G) \rightarrow \mathcal{C}$ 定义为: $\lambda\left(S_{i}\right)=\lambda\left(S_{i}^{\prime}\right)=c\left(S_{i}\right)$ 为了 $1 \leq i \leq m, \lambda\left(x_{j}\right)=c\left(x_{j}\right)$ 为了 $1 \leq j \leq n$ 和 $\lambda(r)=c(r)$. 主 题, $\mathcal{M}$ 是定义如下的集合:\left 的分隔符筷失或无法识别

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。


微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。





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