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数学代写|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|A polynomial-time algorithm for paths with a bounded number of colors
We complement here the results of the two preceding sections by showing that the MIN-CC problem for paths is polynomial-time solvable in case the motif is built upon a fixed number of colors. Observe, however, that each color may still have an unbounded number of occurrences in the motif.
In what follows we describe a dynamic programming algorithm for this case. The basic idea of our approach is as follows. Suppose we are left by the algorithm with the problem of finding an occurrence of a submotif $\mathcal{M}^{\prime} \subseteq \mathcal{M}$ in the subpath $G^{\prime}$ of $G$ induced by ${i, i+1, \ldots, j}, 1 \leq i<j \leq n$. Furthermore, suppose that any occurrence of $\mathcal{M}^{\prime}$ in $G^{\prime}$ results in at least $k^{\prime}$ connected components. This minimum number of occurrences $k^{\prime}$ can be computed as follows. Assume that we have found one leftmost connected component $C_{\text {left }}$ of the occurrence of $\mathcal{M}^{\prime}$ in $G^{\prime}$ and let $i_{2}, i \leq i_{2}<j$, be the rightmost (according to the natural order of the vertices) vertex of $C_{\text {left }}$. Let $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ be the motif obtained from $\mathcal{M}^{\prime}$ by subtracting to each color $c_{\ell} \in \mathcal{C}$ the number of occurrences of color $c_{\ell}$ in the leftmost connected component $C_{\text {left }}$. Then the occurrence of $\mathcal{M}^{\prime}$ in $G^{\prime}$ is given by $\left{i_{2}+1, i_{2}+2, \ldots, j\right}$, which results in $k^{\prime}-1$ connected components. From an optimization point of view, the problem thus reduces to finding a subpath $\left{i_{1}, i_{1}+\right.$ $\left.1, \ldots, i_{2}\right}, i \leq i_{1} \leq i_{2}<j$, such that the occurrence of the motif $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ modified according to the colors in $\left{i_{1}, i_{1}+1, \ldots, i_{2}\right}$ in the subpath induced by $\left{i_{2}+\right.$ $\left.1, i_{2}+2, \ldots, j\right}$ results in a minimum number of connected components.
Let $(G, \mathcal{M})$ be an instance of the MıN-CC problem where $G$ is a (vertexcolored) path built upon the set of colors $\mathcal{C}$. For ease of exposition, write $\mathbf{V}(G)=$ ${1,2, \ldots, n}$ and $q=|\mathcal{C}|$. We denote by $m_{i}$ the number of occurrences of color $c_{i} \in \mathcal{C}$ in $\mathcal{M}$. Clearly, $\sum_{c_{i} \in \mathcal{C}} m_{i}=|\mathcal{M}|$. We now introduce our dynamic programming table $T$. Define $T\left[i, j ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right], 1 \leq i \leq j \leq n$ and $0 \leq p_{\ell} \leq m_{\ell}$ for $1 \leq \ell \leq q$, to be the minimum number of connected components in the subpath of $G$ that starts at node $i$, ends at node $j$ and that covers $p_{\ell}$ occurrences of color $c_{\ell}, 1 \leq \ell \leq q$. The base conditions are as follows:
- for all $1 \leq i \leq j \leq n, T[i, j ; 0,0, \ldots, 0]=0$ and $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ if $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}>1$
- for all $1 \leq i \leq n, T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ if $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=1$ and $\lambda(i) \neq c_{\ell}$ and $p_{\ell}=1$, and $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=1$ if $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=$ 1 and $\lambda(i)=c_{\ell}$ and $p_{\ell}=1$.
数学代写|理论计算机代写THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|Hardness of approximation for trees
We investigate in this section approximation issues for restricted instances of the MIN-CC problem. Unfortunately, as we shall now prove, it turns out that, even if $\mathcal{M}$ is a set and $G$ is a tree, the MıN-CC problem cannot be approximated within ratio $c \log n$ for some constant $c>0$, where $n$ is the size of the target graph $G$. As a side result, we prove that the MIN-CC problem is W[2]-hard when parameterized by the number of connected components of the occurrence of $\mathcal{M}$ in the target graph $G$.
At the core of our proof is an L-reduction [12] from the SET-COVER problem. Let $I$ be an arbitrary instance of the SET-COVER problem consisting of a universe set $X(I)=\left{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right}$ and a collection of sets $\mathcal{S}(I)=S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{m}$, each over $X(I)$. For each $1 \leq i \leq m$, write $t_{i}=\left|S_{i}\right|$ and denote by $e_{j}\left(S_{i}\right)$, $1 \leq j \leq t_{i}$, the $j$-th element of $S_{i}$. For ease of exposition, we present the corresponding instance of the MIN-CC problem as a rooted tree $G$. We construct the tree $G$ as follows (see Fig. 1). Define a root $r$ and vertices $S_{1}^{\prime}, S_{2}^{\prime}, \ldots, S_{m}^{\prime}$ such that each vertex $S_{i}^{\prime}$ is connected to the root $r$. For each $S_{i}^{\prime}$ define the subtree $G\left(S_{i}^{\prime}\right)$ rooted at $S_{i}^{\prime}$ as follows: each vertex $S_{i}^{\prime}$ has a unique child $S_{i}$ and each vertex $S_{i}$ has children $e_{1}\left(S_{i}\right), e_{2}\left(S_{i}\right), \ldots, e_{t_{i}}\left(S_{i}\right)$. The set of colors $\mathcal{C}$ is defined as follows: $\mathcal{C}=\left{c\left(S_{i}\right): 1 \leq i \leq m\right} \cup\left{c\left(x_{j}\right): 1 \leq j \leq n\right} \cup{c(r)}$. The coloring mapping $\lambda: \mathbf{V}(G) \rightarrow \mathcal{C}$ is defined by: $\lambda\left(S_{i}\right)=\lambda\left(S_{i}^{\prime}\right)=c\left(S_{i}\right)$ for $1 \leq i \leq m$, $\lambda\left(x_{j}\right)=c\left(x_{j}\right)$ for $1 \leq j \leq n$ and $\lambda(r)=c(r)$. The motif $\mathcal{M}$ is the set defined as follows: $\mathcal{M}=\left{c\left(S_{i}\right): 1 \leq i \leq m\right} \cup\left{c\left(x_{i}\right): 1 \leq i \leq n\right} \cup{c(r)}$.
理论计算机代写
数学代写|理论计算机代写 THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|A polynomial-time algorithm for paths with a bounded number of colors
我们在此补充前两节的结果，表明路径的 MIN-CC 问题是多项式时间可解决的，如果主题 建立在固定数量的颜色上。然而，请注意，每种颜色在主题中可能仍然有无限数量的出 现。
在下文中，我们描述了这种情况下的动态规划算法。我们的方法的基本思想如下。假设算 法给我们留下了寻找子母题出现的问题 $\mathcal{M}^{\prime} \subseteq \mathcal{M}$ 在子路径中 $G^{\prime}$ 的 $G$ 由…介绍 $i, i+1, \ldots, j, 1 \leq i<j \leq n$. 此外，假设任何发生 $\mathcal{M}^{\prime}$ 在 $G^{\prime}$ 至少导致 $k^{\prime}$ 连接的组件。这个 最小出现次数 $k^{\prime}$ 可以计算如下。假设我们找到了一个最左边的连通分量 $C_{\text {left }}$ 的发生 $\mathcal{M}^{\prime}$ 在 $G^{\prime}$ 然后让 $i_{2}, i \leq i_{2}<j$, 是最右边的 (根据顶点的自然顺序) 顶点 $C_{\text {left }}$. 让 $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ 是从获得的 $\mathcal{M}^{\prime}$ 在 $G^{\prime}$ 是 (谁) 给的 \left 的分隔符缺失或无法识别
接的组件。从优化的角度来看，问题因此简化为寻找子路径
\left 的分隔符缺失或无法识别，，这样主题的出现 $\mathcal{M}^{\prime \prime}$ 根据颜色修改
lleft 的分隔符缺失或无法识别
在由
\left 的分隔符笡失或无法识别
导致最小数量的连接组件。
让 $(G, \mathcal{M})$ 是 $\mathrm{MIN}-\mathrm{CC}$ 问题的一个实例，其中 $G$ 是建立在一组颜色之上的（顶点着色的） 路径 $\mathcal{C}$. 为了便于说明，写 $\mathbf{V}(G)=1,2, \ldots, n$ 和 $q=|\mathcal{C}|$. 我们表示 $m_{i}$ 颜色出现的次数 $c_{i} \in \mathcal{C}$ 在 $\mathcal{M}$. 清楚地， $\sum_{c i \in \mathcal{C}} m_{i}=|\mathcal{M}|$. 我们现在介绍我们的动态规划表 $T$. 定义 $T\left[i, j ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right], 1 \leq i \leq j \leq n$ 和 $0 \leq p_{\ell} \leq m_{\ell}$ 为了 $1 \leq \ell \leq q$, 是子路径中连接组件 的最小数量 $G$ 从节点开始 $i$, 结束于节点 $j$ 这涵盖了 $p_{\ell}$ 颜色的出现 $c_{\ell}, 1 \leq \ell \leq q$. 基本条件如 T:
对所有人 $1 \leq i \leq j \leq n, T[i, j ; 0,0, \ldots, 0]=0$ 和 $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ 如果 $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}>1$
对所有人 $1 \leq i \leq n, T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=\infty$ 如果 $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=1$ 和 $\lambda(i) \neq c_{\ell}$ 和 $p_{\ell}=1$ ， 和 $T\left[i, i ; p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{q}\right]=1$ 如果 $\sum_{1 \leq \ell \leq q} p_{\ell}=1$ 和 $\lambda(i)=c_{\ell}$ 和 $p_{\ell}=1$.
数学代写|理论计算机代写 THEORETICAL COMPUTER SCIENCE代写|Hardness of approximation for trees
我们在本节中研究 MIN-CC 问题的受限实例的近似问题。不幸的是，正如我们现在将证明 的那样，事实证明，即使 $\mathcal{M}$ 是一个集合并且 $G$ 是一棵树， $M \mathrm{~N}-\mathrm{CC}$ 问题不能在 ratio 内近 似 $c \log n$ 对于一些常数 $c>0$ ，在哪里 $n$ 是目标图的大小 $G$. 作为附带结果，我们证明了 MIN-CC 问题是 W[2]-hard 当参数化为 $\mathcal{M}$ 在目标图中 $G$.
我们证明的核心是来自 SET-COVER 问题的 L-reduction [12]。让 $I$ 是由全域集组成的 SET-COVER 问题的任意实例 $}$ lef $\mathrm{t}$ 的分隔符缺失或无法识别 和一组集合 $\mathcal{S}(I)=S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{m}$ ，每过 $X(I)$. 对于每个 $1 \leq i \leq m$ ， 写 $t_{i}=\left|S_{i}\right|$ 并表示为 $e_{j}\left(S_{i}\right)$, $1 \leq j \leq t_{i} ，$ 这 $j$-第一个元素 $S_{i}$. 为了便于说明，我们将 MIN-CC 问题的相应实例表示为 有根树 $G$. 我们构建树 $G$ 如下（见图 1）。定义一个根 $r$ 和顶点 $S_{1}^{\prime}, S_{2}^{\prime}, \ldots, S_{m}^{\prime}$ 这样每个顶点 $S_{i}^{\prime}$ 连接到根 $r$. 对于每个 $S_{i}^{\prime}$ 定义子树 $G\left(S_{i}^{\prime}\right)$ 植根于 $S_{i}^{\prime}$ 如下: 每个顶点 $S_{i}^{\prime}$ 有一个独特的孩子 $S_{i}$ 和每个顶点 $S_{i}$ 有孩子 $e_{1}\left(S_{i}\right), e_{2}\left(S_{i}\right), \ldots, e_{t i}\left(S_{i}\right)$. 颜色组 $\mathcal{C}$ 定义如下:
\left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 着色映射 $\lambda: \mathbf{V}(G) \rightarrow \mathcal{C}$ 定义为: $\lambda\left(S_{i}\right)=\lambda\left(S_{i}^{\prime}\right)=c\left(S_{i}\right)$ 为了 $1 \leq i \leq m, \lambda\left(x_{j}\right)=c\left(x_{j}\right)$ 为了 $1 \leq j \leq n$ 和 $\lambda(r)=c(r)$. 主 题, $\mathcal{M}$ 是定义如下的集合：\left 的分隔符筷失或无法识别
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。