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# 数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|MATH1005 Normal Subgroups and Factor Groups

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## 数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Normal Subgroups

As we saw in Chapter 7 , if $G$ is a group and $H$ is a subgroup of $G$, it is not always true that $a H=H a$ for all $a$ in $G$. There are certain situations where this does hold,
however, and these cases turn out to be of critical importance in the theory of groups. It was Galois, bio]Galois, Évariste about 190 years ago, who first recognized that such subgroups were worthy of special attention.
Definition
Normal Subgroup
A subgroup $H$ of a group $G$ is called a normal subgroup of $G$ if $a H=H a$ for all a in $G$. We denote this by $H \triangleleft G$.

You should think of a normal subgroup in this way: You can switch the order of a product of an element a from the group and an element $h$ from the normal subgroup $H$, but you must “fudge” a bit on the element from the normal subgroup $H$ by using some $h^{\prime}$ from $H$ rather than $h$. That is, there is an element $h^{\prime}$ in $H$ such that $a h=h^{\prime} a$. Likewise, there is some $h^{\prime \prime}$ in $H$ such that $h a=a h^{\prime \prime}$. (It is possible that $h^{\prime}=h$ or $h^{\prime \prime}=h$, but we may not assume this.)

## 数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Factor Groups

We have yet to explain why normal subgroups are of special significance. The reason is simple. When the subgroup $H$ of $G$ is normal, then the set of left (or right) cosets of $H$ in $G$ is itself a group-called the factor group of $G$ by $H$ (or the quotient group of $G$
by $H$ ). Quite often, one can obtain information about a group by studying one of its factor groups. This method will be illustrated in the next section of this chapter.

• Theorem 9.2 Factor Groups (O. Hölder, 1889)
Let $G$ be a group and let $H$ be a normal subgroup of $G$. The set $G / H={a H \mid a \in G}$ is a group under the operation $(a H)(b H)=a b H .1$
1 footnotetext: The notation $G / H$ was first used by biojJordan, Camille $C$. Jordan.
PROOF Our first task is to show that the operation is well-defined; that is, we must show that the correspondence defined above from $G / H \times G / H$ into $G / H$ is actually a function. To do this, we assume that for some elements $a, a^{\prime}, b$, and $b^{\prime}$ from $G$, we have $a H=a^{\prime} H$ and $b H=b^{\prime} H$, and verify that $a H b H=a^{\prime} H b^{\prime} H$. That is, verify that $a b H=a^{\prime} b^{\prime} H$. (This shows that the definition of multiplication depends on only the cosets and not on the coset representatives.) From $a H=a^{\prime} H$ and $b H=b^{\prime} H$, we have $a^{\prime}=a h_{1}$ and $b^{\prime}=b h_{2}$ for some $h_{1}, h_{2}$ in $H$, and therefore
$a^{\prime} b^{\prime} H=a h_{1} b h_{2} H=a h_{1} b H=a h_{1} H b=a H b=a b H$. Here we have made multiple use of associativity, property 2 of the lemma in Chapter 7 , and the fact that $H \triangleleft G$.
The rest is easy: $e H=H$ is the identity; $a^{-1} H$ is the inverse of $a H$; and $(a H b H) c H=(a b) H c H=(a b) c H=a(b c) H=a H(b c) H=a H(b H c H)$. This proves that $G / H$ is a group.
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## 数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考| Normal Subgroups

A 子组 $H$ 的组 $G$ 称为 正态子群 $G$ 如果 $a H=H a$ 对于所有在 $G$. 我们通过以下方式表示 $H \triangleleft G$.

## 数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考| Factor Groups

• 定理 $9.2$ 因子群 (O. Hölder，1889)
Let $G$ 成为一个团体，让 $H$ 是 的正常子组 $G$. 套装 $G / H=a H \mid a \in G$ 是操作下的组 $(a H)(b H)=a b H .1$
1 脚注文本: 符号 $G / H$ 最初由biojJordan，Camille使用 $C$. 约旦。
证明 我们的首要任务是证明操作是定义明确的;也就是说，我们必须证明上面定义的对应关系来自 $G / H \times G / H$ 到 $G / H$ 实际上是一个函数。为此，我们假设对于某些元素 $a, a^{\prime}, b$ 和 $b^{\prime}$ 从 $G$ 我们有 $a H=a^{\prime} H$ 和 $b H=b^{\prime} H$ ，并验证 $a H b H=a^{\prime} H b^{\prime} H$.也就是说，验证 $a b H=a^{\prime} b^{\prime} H$. (这表明乘法的定义仅取决于陪集，而不依赖于陪集代表。从 $a H=a^{\prime} H$ 和 $b H=b^{\prime} H$ 我们有 $a^{\prime}=a h_{1}$ 和 $b^{\prime}=b h_{2}$ 对于某些人来说 $h_{1}, h_{2}$ 在 $H$ ，因此
$a^{\prime} b^{\prime} H=a h_{1} b h_{2} H=a h_{1} b H=a h_{1} H b=a H b=a b H$. 在这里，我们多次使用了结合性，第7章引理的属性2，以及 $H \triangleleft G$.
其余的都很简单: $e H=H$ 是身份; $a^{-1} H$ 是 的反函数 $a H$; 和
$$(a H b H) c H=(a b) H c H=(a b) c H=a(b c) H=a H(b c) H=a H(b H c H) \cdot \text { 这证明 } G / H \text { 是一个组。 }$$

## MATLAB代写

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