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抽象代数abstract algebra代数这个词不仅用于命名数学的一个领域和一些子领域，它还用于命名一些种类的代数结构，如一个场上的代数，通常称为代数。有时，同一短语也用于一个子领域及其主要代数结构；例如，布尔代数和布尔代数。一个专门研究代数的数学家被称为代数学家。
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数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Normal Subgroups
As we saw in Chapter 7 , if $G$ is a group and $H$ is a subgroup of $G$, it is not always true that $a H=H a$ for all $a$ in $G$. There are certain situations where this does hold,
however, and these cases turn out to be of critical importance in the theory of groups. It was Galois, bio]Galois, Évariste about 190 years ago, who first recognized that such subgroups were worthy of special attention.
Definition
Normal Subgroup
A subgroup $H$ of a group $G$ is called a normal subgroup of $G$ if $a H=H a$ for all a in $G$. We denote this by $H \triangleleft G$.
You should think of a normal subgroup in this way: You can switch the order of a product of an element a from the group and an element $h$ from the normal subgroup $H$, but you must “fudge” a bit on the element from the normal subgroup $H$ by using some $h^{\prime}$ from $H$ rather than $h$. That is, there is an element $h^{\prime}$ in $H$ such that $a h=h^{\prime} a$. Likewise, there is some $h^{\prime \prime}$ in $H$ such that $h a=a h^{\prime \prime}$. (It is possible that $h^{\prime}=h$ or $h^{\prime \prime}=h$, but we may not assume this.)
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Factor Groups
We have yet to explain why normal subgroups are of special significance. The reason is simple. When the subgroup $H$ of $G$ is normal, then the set of left (or right) cosets of $H$ in $G$ is itself a group-called the factor group of $G$ by $H$ (or the quotient group of $G$
by $H$ ). Quite often, one can obtain information about a group by studying one of its factor groups. This method will be illustrated in the next section of this chapter.
- Theorem 9.2 Factor Groups (O. Hölder, 1889)
Let $G$ be a group and let $H$ be a normal subgroup of $G$. The set $G / H={a H \mid a \in G}$ is a group under the operation $(a H)(b H)=a b H .1$
1 footnotetext: The notation $G / H$ was first used by biojJordan, Camille $C$. Jordan.
PROOF Our first task is to show that the operation is well-defined; that is, we must show that the correspondence defined above from $G / H \times G / H$ into $G / H$ is actually a function. To do this, we assume that for some elements $a, a^{\prime}, b$, and $b^{\prime}$ from $G$, we have $a H=a^{\prime} H$ and $b H=b^{\prime} H$, and verify that $a H b H=a^{\prime} H b^{\prime} H$. That is, verify that $a b H=a^{\prime} b^{\prime} H$. (This shows that the definition of multiplication depends on only the cosets and not on the coset representatives.) From $a H=a^{\prime} H$ and $b H=b^{\prime} H$, we have $a^{\prime}=a h_{1}$ and $b^{\prime}=b h_{2}$ for some $h_{1}, h_{2}$ in $H$, and therefore
$a^{\prime} b^{\prime} H=a h_{1} b h_{2} H=a h_{1} b H=a h_{1} H b=a H b=a b H$. Here we have made multiple use of associativity, property 2 of the lemma in Chapter 7 , and the fact that $H \triangleleft G$.
The rest is easy: $e H=H$ is the identity; $a^{-1} H$ is the inverse of $a H$; and $(a H b H) c H=(a b) H c H=(a b) c H=a(b c) H=a H(b c) H=a H(b H c H)$. This proves that $G / H$ is a group.
$|$
抽象代数代写
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考| Normal Subgroups
正如我们在第7章中看到的，如果 $G$ 是一个组，并且 $H$ 是 的子组 $G$ ，并不总是正确的 $a H=H a$ 面向所有人 $a$ 在 $G$. 然而， 在某些情况下，
这确实成立，这些情况在群理论中至关重要。大约190年前，伽罗瓦，伽罗瓦，埃瓦里斯特首先认识到这些亚群值得 特别关注。 定义
正态子组
A 子组 $H$ 的组 $G$ 称为 正态子群 $G$ 如果 $a H=H a$ 对于所有在 $G$. 我们通过以下方式表示 $H \triangleleft G$.
您应该以这种方式考虑正态子组：您可以从组和元素中切换元素 $a$ 的乘积的顺序 $h$ 从正常子组 $H$ ，但您必须对正常子组 中的元素进行一些“软糖” $H$ 通过使用一些 $h^{\prime}$ 从 $H$ 而不是 $h$.也就是说，有一个元素 $h^{\prime}$ 在 $H$ 使得 $a h=h^{\prime} a$. 同样，也有一些 $h^{\prime \prime}$ 在 $H$ 使得 $h a=a h^{\prime \prime}$. (有可能 $h^{\prime}=h$ 或 $h^{\prime \prime}=h$ ，但我们可能不会假设这一点。
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考| Factor Groups
本身就是一个群-称为因子群 $G$ 由 $H$ (或商群 $G$
由 $H)$. 通常，人们可以通过研究其因子组之一来获取有关组的信息。本章的下一节将介绍此方法。
- 定理 $9.2$ 因子群 (O. Hölder，1889)
Let $G$ 成为一个团体，让 $H$ 是 的正常子组 $G$. 套装 $G / H=a H \mid a \in G$ 是操作下的组 $(a H)(b H)=a b H .1$
1 脚注文本: 符号 $G / H$ 最初由biojJordan，Camille使用 $C$. 约旦。
证明 我们的首要任务是证明操作是定义明确的;也就是说，我们必须证明上面定义的对应关系来自 $G / H \times G / H$ 到 $G / H$ 实际上是一个函数。为此，我们假设对于某些元素 $a, a^{\prime}, b$ 和 $b^{\prime}$ 从 $G$ 我们有 $a H=a^{\prime} H$ 和 $b H=b^{\prime} H$ ，并验证 $a H b H=a^{\prime} H b^{\prime} H$.也就是说，验证 $a b H=a^{\prime} b^{\prime} H$. (这表明乘法的定义仅取决于陪集，而不依赖于陪集代表。从 $a H=a^{\prime} H$ 和 $b H=b^{\prime} H$ 我们有 $a^{\prime}=a h_{1}$ 和 $b^{\prime}=b h_{2}$ 对于某些人来说 $h_{1}, h_{2}$ 在 $H$ ，因此
$a^{\prime} b^{\prime} H=a h_{1} b h_{2} H=a h_{1} b H=a h_{1} H b=a H b=a b H$. 在这里，我们多次使用了结合性，第7章引理的属性2，以及 $H \triangleleft G$.
其余的都很简单: $e H=H$ 是身份; $a^{-1} H$ 是 的反函数 $a H$; 和
$$
(a H b H) c H=(a b) H c H=(a b) c H=a(b c) H=a H(b c) H=a H(b H c H) \cdot \text { 这证明 } G / H \text { 是一个组。 }
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。