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抽象代数abstract algebra代数这个词不仅用于命名数学的一个领域和一些子领域，它还用于命名一些种类的代数结构，如一个场上的代数，通常称为代数。有时，同一短语也用于一个子领域及其主要代数结构；例如，布尔代数和布尔代数。一个专门研究代数的数学家被称为代数学家。
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数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Definition and Examples
In this chapter, we show how to piece together groups to make larger groups. In Chapter 9, we will show that we can often start with one large group and decompose it into a product of smaller groups in much the same way as a composite positive integer can be broken down into a product of primes. These methods will later be used to give us a simple way to construct all finite Abelian groups.
Definition
External Direct Product
Let $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$ be a finite collection of groups. The external direct product of $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$, written as $G_{1} \oplus G_{2} \oplus \cdots \oplus G_{n}$, is the set of all $n$-tuples for which the ith component is an element of $G_{i}$ and the operation is componentwise.
In symbols,
$$
G_{1} \oplus G_{2} \oplus \cdots \oplus G_{n}=\left{\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right) \mid g_{i} \in G_{i}\right}
$$
where $\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)\left(g_{1}^{\prime}, g_{2}^{\prime}, \ldots, g_{n}^{\prime}\right)$ is defined to be $\left(g_{1} g_{1}^{\prime}, g_{2} g_{2}^{\prime}, \ldots, g_{n} g_{n}^{\prime}\right)$. It is understood that each product $g_{i} g_{i}^{\prime}$ is performed with the operation of $G_{i}$. Note that in the case that each $G_{i}$ is finite, we have by properties of sets that $\left|G_{1} \oplus G_{2} \oplus \cdots \oplus G_{n}\right|=\left|G_{1}\right|\left|G_{2}\right| \cdots\left|G_{n}\right|$. We leave it to the reader to show that the external direct product of groups is itself a group (Exercise 1).
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Properties of External Direct Products
The order of an element in a direct product of a finite number of finite groups is the least common multiple of the orders of the components of the element. In symbols,
$$
\left|\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)\right|=\operatorname{lcm}\left(\left|g_{1}\right|,\left|g_{2}\right|, \ldots,\left|g_{n}\right|\right)
$$
PROOF Denote the identity of $G_{i}$ by $e_{i}$. Let $s=\operatorname{lcm}\left(\left|g_{1}\right|,\left|g_{2}\right|, \ldots,\left|g_{n}\right|\right)$ and $t=\left|\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)\right|$. Because $s$ is a multiple of each $\left|g_{i}\right|$ implies that $\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)^{s}=\left(g_{1}^{s}, g_{2}^{s}, \ldots, g_{n}^{s}\right)=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$,we know that $t \leq s$. On the other hand, from $\left(g_{1}^{t}, g_{2}^{t}, \ldots, g_{n}^{t}\right)=\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)^{t}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$ we see that $t$ is a common multiple of $\left|g_{1}\right|,\left|g_{2}\right|, \ldots,\left|g_{n}\right|$.Thus, $s \leq t$.
The next three examples are applications of Theorem 8.1.
- EXAMPLE 4 Examples of groups of order 100 include
$Z_{100} ; Z_{25} \oplus Z_{2} \oplus Z_{2} ; Z_{5} \oplus Z_{5} \oplus Z_{4} ; Z_{5} \oplus Z_{5} \oplus Z_{2} \oplus Z_{2} ; D_{50} ; D_{10} \oplus Z_{5} ; D_{5} \oplus Z_{10} ;$ and $D_{5} \oplus D_{5}$. That these are not isomorphic is an easy consequence of Theorem 8.1. - EXAMPLE 5 Let $m$ and $n$ be positive integers that are divisible by 5 . We determine the number of elements of order 5 in $Z_{m} \oplus Z_{n}$. By Theorem $8.1$, we need only count the number of elements $(a, b)$ in $Z_{m} \oplus Z_{n}$ with the property that $5=|(a, b)|=\operatorname{lcm}(|a|,|b|)$. Clearly this requires that $|a|=$ 1or 5 and $|b|=1$ or 5 , but not $(a, b)=(0,0)$. Since both $Z_{m}$ and $Z_{n}$ each have a unique subgroup of order 5 there are exactly five choices for $a$ and 5 choices for $b$ and therefore 25 choices for $(a, b)$, including $(0,0)$. So, there are exactly 24 elements in $Z_{m} \oplus Z_{n}$ of order 5 .
The identical argument shows that if $m$ and $n$ be positive integers that are divisible by a prime $p$, then the number of elements of order $p$ in $Z_{m} \oplus Z_{n}$ is $p^{2}-1$.
抽象代数代写
数学代㝍|抽象代数作业代㝍ALGEBRA代考| Definition and Examples
在本章中，我们将展示如何将组拼湊在一起以形成更大的组。在第 9 章中，我们将展示我们通常可以从一个大群开始， 并将其分解为较小群的乘积，就像复合正整数可以分解为素数的乘积一样。这些方法稍后将用于给我们一种构造所有 有限阿贝尔群的简单方法。
定义
外部直接产品
让 $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$ 是组的有限集合。外部直接产品 $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$ ，写为 $G_{1} \oplus G_{2} \oplus \cdots \oplus G_{n}$ ，是所有的集合 $n$-第 $\mathrm{i}$ 个组件是 其元素的元组 $G_{i}$ 并且操作是按组件进行的。
在符号中，
缺少或无法识别 \left 的分隔符
哪里 $\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)\left(g_{1}^{\prime}, g_{2}^{\prime}, \ldots, g_{n}^{\prime}\right)$ 定义为 $\left(g_{1} g_{1}^{\prime}, g_{2} g_{2}^{\prime}, \ldots, g_{n} g_{n}^{\prime}\right)$.据了解，每个产品 $g_{i} g_{i}^{\prime}$ 与以下操作一起执行 $G_{i}$. 请注 意，在每种情况下 $G_{i}$ 是有限的，我们有集合的性质 $\left|G_{1} \oplus G_{2} \oplus \cdots \oplus G_{n}\right|=\left|G_{1}\right|\left|G_{2}\right| \cdots\left|G_{n}\right|$.我们把它留给读者来证 明组的外部直接乘积本身就是一个组 (练习1)。
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考| Properties of External Direct Products
有限个有限群的直积中元素的阶数是元素分量的最小公倍数。在符号中，
$$
\left|\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)\right|=\operatorname{lcm}\left(\left|g_{1}\right|,\left|g_{2}\right|, \ldots,\left|g_{n}\right|\right)
$$
证明 表示 $G_{i}$ 由 $e_{i}$. 让 $s=\operatorname{lcm}\left(\left|g_{1}\right|,\left|g_{2}\right|, \ldots,\left|g_{n}\right|\right)$ 和 $t=\left|\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)\right|$.因为 $s$ 是每个的倍数 $\left|g_{i}\right|$ 意味着 $\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)^{s}=\left(g_{1}^{s}, g_{2}^{s}, \ldots, g_{n}^{s}\right)=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$ ，我们知道 $t \leq s$.另一方面，从 $\left(g_{1}^{t}, g_{2}^{t}, \ldots, g_{n}^{t}\right)=\left(g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n}\right)^{t}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)$ 我们看到 $t$ 是 的常见倍数 $\left|g_{1}\right|,\left|g_{2}\right|, \ldots,\left|g_{n}\right|$.因此 $s \leq t$. 接下来的三个例子是定理8.1的应用。
- 例4 订单 100 组的示例包括
$Z_{100} ; Z_{25} \oplus Z_{2} \oplus Z_{2} ; Z_{5} \oplus Z_{5} \oplus Z_{4} ; Z_{5} \oplus Z_{5} \oplus Z_{2} \oplus Z_{2} ; D_{50} ; D_{10} \oplus Z_{5} ; D_{5} \oplus Z_{10} ;$ 和 $D_{5} \oplus D_{5}$. 这些不是同构的， 这是定理8.1的简单结果。 - 示例 5 让 $m$ 和 $n$ 是可被 5 整除的正整数。我们确定 5 阶的元素数 $Z_{m} \oplus Z_{n}$.按定理 $8.1$ ，我们只需要计算元素的数量 $(a, b)$ 在 $Z_{m} \oplus Z_{n}$ 具有属性 $5=|(a, b)|=\operatorname{lcm}(|a|,|b|)$. 显然，这需要 $|a|=1$ 或 5 和 $|b|=1$ 或 5 ，但不是 $(a, b)=(0,0)$. 由于两者兼而有之 $Z_{m}$ 和 $Z_{n}$ 每个都有一个唯一的 5 阶子群，正好有五个选择 $a$ 和 5 选择 $b$ 因此有 25 种选择 $(a, b)$ 包括 $(0,0)$.因此，正好有 24 个元素 $Z_{m} \oplus Z_{n}$ 订单 5 .
相同的参数表明，如果 $m$ 和 $n$ 是可被素数整除的正整数 $p$ ，然后是元素的顺序数 $p$ 在 $Z_{m} \oplus Z_{n}$ 是 $p^{2}-1$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。