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# 数学网课代修|微积分代写calculus代考|MTH200 Type II improper integrals: examples

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## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|Type II improper integrals: examples

Example 4 Evaluate $\int_{-7} \frac{1}{x+2} d x$
Solution Checking the integrand for discontinuities, we identify a discontinuity at $x=-2$. The discontinuity is located at the right endpoint of the interval $[-7,-2]$, meaning we have an improper integral of type II. Integrating from $x=-7$ to $x=-2-\omega$,
\begin{aligned} \int_{-7}^{-2} \frac{1}{x+2} d x &=\int_{-7}^{-2-\omega} \frac{1}{x+2} d x \ &=\left.\ln |x+2|\right|{-7} ^{-2-\omega} \ &=\ln |-2-\omega+2|-\ln |-7+2| \ &=\ln \omega-\ln 5 \ & \doteq-\infty . \end{aligned} This integral diverges. Example 5 Evaluate $\int{0}^{5} \frac{1}{x+3} d x$
Solution Checking the integrand for discontinuities, we identify a discontinuity at $x=-3$. This discontinuity is not in the interval $[0,5]$, so the integral is not improper. We may proceed as usual:
$$\int_{0}^{5} \frac{1}{x+3} d x=\left.\ln |x+3|\right|{0} ^{5}=\ln 8-\ln 3=\ln \frac{8}{3}$$ Substitution and other integration techniques can be used for improper integrals. Example 6 Evaluate $\int{1}^{2} \frac{4}{\sqrt{x-1}} d x$

## 数学网课代修|微积分代写calculus代考|Divergent but not to infinit

As with improper integrals of type I, we do not require an infinite result for an improper integral of type II to diverge. If the calculation does

not render the same real result for every positive infinitesimal $\omega$, the integral diverges.
Example 8 Evaluate $\int_{0}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x$
Solution Checking the integrand for discontinuities, we identify a discontinuity at $x=0$. The discontinuity is at the left end of the interval $[0,1]$, so we rewrite the integral as
$$\int_{0}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x=\int_{\omega}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x$$
Next we notice there is a trig function of “not just plain $x$,” indicating the need for substitution:
\begin{aligned} u &=\frac{1}{x} \ d u &=-\frac{1}{x^{2}} d x . \end{aligned}
The new limits of integration are
$$\begin{array}{ll} x=1: & u=1 \ x=\omega: & u=\frac{1}{\omega}=\Omega . \end{array}$$
Making the substitution and continuing,
\begin{aligned} \int_{\omega}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x &=\int_{\Omega}^{1} \cos u d u \ &=\left.\sin u\right|_{\Omega} ^{1} \ &=\sin 1-\sin \Omega . \end{aligned}

## 数学网课代修|微积分代写calculus代 考|Type II improper integrals: examples

，这意味着我们有一个不正确的类型 II 积分。从整合 $x=-7$ 至 $x=-2-\omega$,
$$\int_{-7}^{-2} \frac{1}{x+2} d x=\int_{-7}^{-2-\omega} \frac{1}{x+2} d x \quad=\ln |x+2|\left|-7^{-2-\omega}=\ln \right|-2-\omega+2|-\ln |-7+2 \mid \quad=\ln \omega-\ln 5 \doteq-\infty$$

$$\int_{0}^{5} \frac{1}{x+3} d x=\ln |x+3| \mid 0^{5}=\ln 8-\ln 3=\ln \frac{8}{3}$$
㒶换和其他积分技术可用于不正确的积分。示例 6 评估 $\int 1^{2} \frac{4}{\sqrt{x-1}} d x$

## 数学网课代修|微积分代写calculus代 考|Divergent but not to infinit

$$\int_{0}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x=\int_{\omega}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x$$

$$u=\frac{1}{x} d u \quad=-\frac{1}{x^{2}} d x$$

$$x=1: \quad u=1 x=\omega: \quad u=\frac{1}{\omega}=\Omega .$$

$$\int_{\omega}^{1} \frac{\cos \frac{1}{x}}{-x^{2}} d x=\int_{\Omega}^{1} \cos u d u \quad=\left.\sin u\right|_{\Omega} ^{1}=\sin 1-\sin \Omega$$

## MATLAB代写

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