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# 经济代考|博弈论代考GAME THEORY代考|ECON4220 Core relaxations

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## 经济代考|博弈论代考GAME THEORY代考|The open core and least cores

We associate with $(N, v)$ the open core as the set
$$\operatorname{core}^{o}(v)=\left{x \in \mathbb{R}^{n} \mid x(S) \geq v(S) \forall S \subseteq N\right} .$$

The set $\operatorname{core}^{o}(v)$ is obviously never empty. Hence, every nonnegative parameter vector $c \in \mathbb{R}{+}^{N}$ yields a feasible linear program $$\min c^{T} x \quad \text { s.t. } \quad x \in \operatorname{core}^{o}(v) .$$ Notice that the objective function of (54) is bounded from below, because every $x \in \operatorname{core}^{o}(v)$ satisfies $$c^{T} x=\sum{i \in N} c_{i} x_{i} \geq \sum_{i \in N} c_{i} v({i})$$
Hence an optimal solution $x^{}$ with an optimal value $c^{}=c^{}(v)=$ $c^{T} x^{}$ exists. We call the set
$$\operatorname{core}(v, c)=\left{x \in \operatorname{core}^{o}(v) \mid c^{T} x=c^{*}\right}$$
the least c-core of $(N, v)$.

## 经济代考|博弈论代考GAME THEORY代考|Nuclea

The idea of the least core is a relaxation of the constraint $x(N)=$ $v(N)$ while retaining the other core constraints $x(S) \geq v(S)$.

An alternative approach to a relaxation of the core concept consists in retaining the equality $x(N)=v(S)$ while possibly relaxing the other constraints.
To make the idea precise, say that $f \in \mathbb{R}^{\mathcal{N}}$ is a relaxation vector if $f_{\emptyset}=0=f_{N} \quad$ and $\quad f_{S} \geq 0$ for all coalitions $S \in \mathcal{N}$
$f$ is feasible for $v$ if there exists some scalar $\epsilon \in \mathbb{R}$ such that
$$C(f, \epsilon)=\operatorname{core}(v-\epsilon f) \neq \emptyset .$$
Hence, if $\operatorname{core}(v) \neq \emptyset$, every relaxation vector $f$ is feasible (with $\epsilon=0$, for example).

## 经济代考|博恋论代考GAME THEORY 代考|The open core and least cores

\left 的分隔符倝失或无法识别 程序
$$\min c^{T} x \quad \text { s.t. } \quad x \in \operatorname{core}^{o}(v) .$$

$$c^{T} x=\sum i \in N c_{i} x_{i} \geq \sum_{i \in N} c_{i} v(i)$$

【left 的分隔符缺失或无法识别

## 经济代考|博恋论代考GAME THEORY 代考|Nuclea

$f$ 是可行的 $v$ 如果存在一些标量 $\epsilon \in \mathbb{R}$ 这样
$$C(f, \epsilon)=\operatorname{core}(v-\epsilon f) \neq \emptyset .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。