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# 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|AMATH562 Global Solution

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## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Statement of Results

We have proven in Theorem 1 the existence and uniqueness of a local solution of the system (12). We want to state that this solution is global, under the assumptions of Proposition $2 .$

Theorem 2 We make the assumptions of Proposition 2 and (42). The local solution defined in Theorem 1 can be extended. Thus there exists one and only one solution of the system (12) on any finite interval $[0, T]$, and there exists one and only one solution of equation (16) on any finite interval $[0, T]$.

Proof Defining by $\Gamma(x, t)$ the fixed point obtained in Theorem 1 , it is the unique solution of the parabolic equation:
\left{\begin{aligned} -\frac{\partial \Gamma}{\partial t}=& D_{x} \Gamma(x) A(x)+\left(D_{x} A(x)\right)^{} \Gamma(x)-D_{x} \Gamma(x) B N^{-1} B^{} \Gamma(x, s) \ &+D_{x} F(x), \quad T-h<t<T \ \Gamma(x, T)=& D_{x} F_{T}(x) \end{aligned}\right.
with $h$ restricted as stated in Theorem 1 . We also have the estimates:
\left{\begin{aligned} |\Gamma(x, t)| & \leq \min \left(\alpha_{t}, \beta_{t}\right)|x|, \ \left|D_{x} \Gamma(x, t)\right| & \leq \beta_{t}, \end{aligned}\right.
with
$$\left{\begin{array}{l} \alpha_{t}=\frac{M_{T}^{2}}{v_{T}}+\frac{\gamma^{2}+M^{2}}{k}(T-t), \ \beta_{t}=\frac{M_{T}^{2}}{v_{T}}+\frac{\gamma^{2}}{m}(T-t)+\int_{t}^{T} \frac{\left(M+b \alpha_{s}\right)^{2}}{v-b \alpha_{s}} d s . \end{array}\right.$$
These estimates follow from the a priori estimates stated in Proposition 1 and 2 . They do not depend on $h$. Now we want to extend (64) for $t<T-h$. To avoid confusion, we define
$$U_{T-h}(x):=\Gamma(x, T-h) .$$

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Optimal Control

In Theorem 2, we have obtained the existence and uniqueness of the solution of the pair $(y(s), z(s))$ of the system (12), for any $t \in[0, T]$. We want now to check that the control $u(s)$ defined by (13) is solution of the control problem (10), (11), and that the optimal control is unique.

Theorem 3 Under the assumptions of Theorem 2, the control $u(\cdot)$ defined by $(13)$ is the unique optimal control for the problem (10), (11).
Proof Let $v(\cdot)$ be another control. We shall prove that
$$J(u(\cdot)+v(\cdot)) \geq J(u(\cdot)),$$
which will prove the optimality of $u(\cdot)$. We define by $y_{v}(\cdot)$ the state corresponding to the control $u(\cdot)+v(\cdot)$. It is the solution of
\left{\begin{aligned} \frac{d}{d s} y_{v}(s) &=A\left(y_{v}(s)\right)+B(u(s)+v(s)) \ y_{v}(t) &=x \end{aligned}\right.

and we have:
$$J(u(\cdot)+v(\cdot))=\int_{t}^{T} F\left(y_{v}(s)\right) d s+F_{T}\left(y_{v}(T)\right)+\frac{1}{2} \int_{t}^{T}(u(s)+v(s), N(u(s)+v(s))) d s,$$
and
\begin{aligned} & J(u(\cdot)+v(\cdot))-J(u(\cdot)) \ =& \int_{t}^{T}\left(F\left(y_{v}(s)\right)-F(y(s))\right) d s+F_{T}\left(y_{v}(T)\right)-F_{T}(y(T)) \ &+\frac{1}{2} \int_{t}^{T}(v(s), N v(s)) d s+\int_{t}^{T}(N u(s), v(s)) d s \end{aligned}
We denote $\tilde{y}{v}(s):=y{v}(s)-y(s)$. It satisfies:
\left{\begin{aligned} \frac{d}{d s} \tilde{y}{v}(s) &=A\left(y{v}(s)\right)-A(y(s))+B v(s), \ \tilde{y}_{v}(t) &=0 . \end{aligned}\right.

## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Statement of Results

$\$ \$$Yeft {$$
-\frac{\partial \Gamma}{\partial t}=D_{x} \Gamma(x) A(x)+\left(D_{x} A(x)\right) \Gamma(x)-D_{x} \Gamma(x) B N^{-1} B \Gamma(x, s) \quad+D_{x} F(x), \quad T-h<t<T \Gamma(x, T)=D_{x} F_{T}(x)
$$【正确的。 with \ \$$ restrictedasstatedinTheorem 1 . Wealsohavetheestimates :
|剩下 {
$$|\Gamma(x, t)| \leq \min \left(\alpha_{t}, \beta_{t}\right)|x|,\left|D_{x} \Gamma(x, t)\right| \leq \beta_{t},$$
【正确的。
with

$$\alpha_{t}=\frac{M_{T}^{2}}{v_{T}}+\frac{\gamma^{2}+M^{2}}{k}(T-t), \beta_{t}=\frac{M_{T}^{2}}{v_{T}}+\frac{\gamma^{2}}{m}(T-t)+\int_{t}^{T} \frac{\left(M+b \alpha_{s}\right)^{2}}{v-b \alpha_{s}} d s$$
【正确的。
TheseestimatesfollowfromtheaprioriestimatesstatedinProposition 1and 2 . Theydonotdependon $\$ h \$$. Nowwewanttoextend (64) for \ t<T-h \$$.
$U_{-}{\operatorname{Th}}(\mathrm{x}):=\backslash \operatorname{Gamma}(\mathrm{x}, \mathrm{Th})$
$\$ \$$## 金融代写|随机分析代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|Optimal Control 在定理 2 中，我们得到了对的解的存在唯一性 (y(s), z(s)) 系统 (12) 的任何 t \in[0, T]. 我们现在要检龺控件 u(s) 由 (13) 定义的 是控制问题 (10)，（11) 的解抉方案，并且最优控制是唯一的。 定理 3 在定理 2 的假设下，控制 u(\cdot) 被定义为 (13) 是问题 (10)，(11) 的唯一最优控制。 证明让 v(\cdot) 成为另一个控制。我们将证明$$
J(u(\cdot)+v(\cdot)) \geq J(u(\cdot)),
$$这将证明的最优侏 u(\cdot). 我们定义为 y_{v}(\cdot) 控件对应的状态 u(\cdot)+v(\cdot). 这是 \ \$$
【left {的解夬方案
$$\frac{d}{d s} y_{v}(s)=A\left(y_{v}(s)\right)+B(u(s)+v(s)) y_{v}(t) \quad=x$$
【正确的。
$\$ \$$我们有:$$
J(u(\cdot)+v(\cdot))=\int_{t}^{T} F\left(y_{v}(s)\right) d s+F_{T}\left(y_{v}(T)\right)+\frac{1}{2} \int_{t}^{T}(u(s)+v(s), N(u(s)+v(s))) d s

J(u(\cdot)+v(\cdot))-J(u(\cdot))=\quad \int_{t}^{T}\left(F\left(y_{v}(s)\right)-F(y(s))\right) d s+F_{T}\left(y_{v}(T)\right)-F_{T}(y(T))+\frac{1}{2} \int_{t}^{T}(v(s), N v(s)) d s+\int_{t}^{T}(N u(s), v(s)) d s
$$我们表示 \bar{v} v(s):=y v(s)-y(s). 它满足: \ \$$
Vleft {
$$\frac{d}{d s} \bar{y} v(s)=A(y v(s))-A(y(s))+B v(s), \bar{y}_{v}(t)=0 .$$
【正确的。
$\$ \

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。