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# 数学代写|信息论代写Information Theory代考|EE276 Definition of channel capacity

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## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|Definition of channel capacity

In the previous chapter, it was assumed that not only noise inside a channel (described by conditional probabilities $P(y \mid x)$ ) is statistically defined, but also signals on a channel’s input, which are described by a priori probabilities $P(x)$. That is why the system characterized by the ensemble of distributions $[P(y \mid x), P(x)]$ (or, equivalently, by the joint distribution $P(x, y)$ ) was considered as a communication channel.

Usually, the distribution $P(x)$ is not an inherent part of a real communication channel as distinct from the conditional distribution $P(y \mid x)$. Sometimes it makes sense not to fix the distribution $P(x)$ a priori but just to fix some technically important requirements, say of the form
$$a_{1} \leqslant \sum_{x} c(x) P(x) \leqslant a_{2},$$
where $c(x)$ is a known function. Usually, it is sufficient to consider only a one-sided constraint of the type
$$\mathbb{E}[c(x)] \leqslant a_{0} .$$

## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|Solution of the second variational problem. Relations for channel capacity and potential

1. We use $X$ to denote the space of values, which an input variable $x$ can take. For the extremum distribution $P_{0}(d x)$ corresponding to capacity (8.1.3), the probability can be concentrated only in a part of the indicated space. Furthermore, let us denote by $\widetilde{X}$ the minimal subset $\widetilde{X} \in X$, for which $P_{0}(\widetilde{X})=1$ (i.e. $P_{0}(X-\widetilde{X})=0$ ). We shall call it an ‘active domain’.

When solving the extremum problem we suppose that $x$ is a discrete variable for convenience. Then we can consider probabilities $P(x)$ of individual points $x$ and take partial derivatives of them. Otherwise, we would have introduced variational derivatives that are associated with some complications, which is not of a special type though.
We try to find a conditional extremum with respect to $P(x)$ of the expression
$$I_{x y}=\sum_{x, y} P(x) P(y \mid x) \ln \frac{P(y \mid x)}{\sum_{x} P(x) P(y \mid x)}$$
under the extra constraints
$$\begin{gathered} \sum_{x} c(x) P(x)=a, \ \sum_{x} P(x)=1 . \end{gathered}$$

## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|Definition of channel capacity

$$a_{1} \leqslant \sum_{x} c(x) P(x) \leqslant a_{2},$$

$$\mathbb{E}[c(x)] \leqslant a_{0} .$$

## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|Solution of the second variational problem. Relations for channel capacity and potential

1. 我们用 $X$ 表示值的空间，它是一个输入变量 $x$ 可以番取。对于极值分布 $P_{0}(d x)$ 对应于容量 (8.1.3)，概率只能集中在指示 空间的一部分。此外，让我们表示 $\widetilde{X}$ 最小子集 $\widetilde{X} \in X$, 为此 $P_{0}(\widetilde{X})=1\left(\mathrm{IE} P_{0}(X-\widetilde{X})=0\right)$ 。我们称其为“活动域”。
在求解极值问题时，我们假设 $x$ 为方便起见，是离散究量。然后我们可以考虑概率 $P(x)$ 个别点 $x$ 并取它们的偏导数。否则，我们将 引入与某些复杂性相关的妾分导数，尽管这不是特殊类型。
我们试图找到关于的条件极值 $P(x)$ 表达的
$$I_{x y}=\sum_{x, y} P(x) P(y \mid x) \ln \frac{P(y \mid x)}{\sum_{x} P(x) P(y \mid x)}$$
在额外的约束下
$$\sum_{x} c(x) P(x)=a, \sum_{x} P(x)=1 .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。