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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|MTH328 Fundamental Concepts

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Fundamental Concepts

In Chapter 7, we have studied many basic and important properties of functions analytic in a region. In this chapter, we continue to study deeper properties of analytic functions and we just state the properties without going into greater detail. For proofs of these theorems in this chapter, please read $[4$, Chap. 4], $[5$, Chap. 7], [9, Chap. VI $],[11$, Chap. VI and VII $],[14$, Chap. VIII, IX and X], [16, Chap. 5] and [35, $\S 2.5]$.

Of course, we recall that $\Omega$ and $U$ always denote a region and the unit disc $D(0 ; 1)$ respectively.

Theorem 8.3 (The Schwarz Reflection Principle). Suppose that $f \in H\left(\Omega^{+}\right), f$ can be extended continuously to $\ell$ and $f(x) \in \mathbb{R}$ for all $x \in \ell$. Then there exists an $F \in H(\Omega)$ such that
$$F=f$$
on $\Omega^{+}$and this $F$ satisfies the relation
$$F(z)=\overline{f(\bar{z})}=\overline{F(\bar{z})}$$
for every $z \in \Omega^{-}$.
Theorem 8.3 (The Schwarz Reflection Principle) can be applied to other situations with respect to analytic arc. See the discussion in [5, pp. 102, 103], $[14$, pp. $284-286],[19$, p. 96] and [31, Exercise 2, p. 293]. For convenience, we quote the Schwarz Reflection Principle for $U$ from [40, Lemma 14.2, pp. 415,416$]$ :

Theorem 8.4 (The Schwarz Reflection Principle for $U$ ). Every $\mathrm{e}^{i t} \in L \subseteq C(0 ; 1)$ is the center of an open disc $D_{t}$ such that $D_{t} \cap U$ lies in $\Omega$. Denote $\Omega^{}$ to be the reflection of $\Omega$, i.e., $$\Omega^{}=\left{z \in \mathbb{C} \mid z^{}=\frac{1}{\bar{z}} \in \Omega\right} .$$ Suppose that $f \in H(\Omega)$ and $\operatorname{Im} f\left(z_{n}\right) \rightarrow 0$ for every sequence $\left{z_{n}\right}$ in $\Omega$ which converges to a point of $L$. Then there exists a function $F$, analytic in the set $\Omega \cup L \cup \Omega^{}$, such that

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Applications of the Open Mapping Theorem

( ) Let $f \in H(\Omega)$ and $f^{2}(z)=\overline{f(z)}$ for all $z \in \Omega$. Prove that $f$ is constant on $\Omega$.
Proof. The hypothesis ensures that $F=f^{3} \in H(\Omega)$. Thus for every $z \in \Omega$, we have
$$F(z)=f^{2}(z) \times f(z)=\overline{f(z)} \times f(z)=|f(z)|^{2}$$
on $\Omega$. Consequently, $F(\Omega) \subseteq \mathbb{R}$ and Theorem $8.1$ (The Open Mapping Theorem) asserts that $F(\Omega)$ must be a single point, i.e., $f^{3}(z)=F(z)=\alpha$ for some $\alpha \in \mathbb{C}$ and all $z \in \mathbb{C}$.
Denote $\omega=e^{\frac{2 \pi i}{3}}$. Then we have
$$f(\Omega) \subseteq\left{|\alpha|^{\frac{1}{3}}, \omega|\alpha|^{\frac{1}{3}}, \omega^{2}|\alpha|^{\frac{1}{3}}\right},$$
so $f(\Omega)$ is a finite set. By Theorem $8.1$ (The Open Mapping Theorem) again, $f(\Omega)$ must be infinite, a contradiction. This forces that $f$ is a constant, as required. This completes the proof of the problem.

## 数学代写|珢分析代写Complex analysis代考|Fundamental Concepts

$$F=f$$

$$F(z)=\overline{f(\bar{z})}=\overline{F(\bar{z})}$$

\left 的分隔符竾失或无法识别

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Applications of the Open Mapping Theorem

() 让 $f \in H(\Omega)$ 和 $f^{2}(z)=\overline{f(z)}$ 对所有人 $z \in \Omega$. 证明 $f$ 是恒定的 $\Omega$.

$$F(z)=f^{2}(z) \times f(z)=\overline{f(z)} \times f(z)=|f(z)|^{2}$$

\left 的分隔符秓失或无法识别

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。