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# 数学代写|实分析代写Real analysis代考|MATH2023 The Mean Value Theorem

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## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|The Mean Value Theorem

As a consequence of Rolle’s theorem we obtain the mean value theorem. This result is usually attributed to Joseph Lagrange (1736-1813).

THEOREM 5.2.6 (Mean Value Theorem) If $f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ is continuous on $[a, b]$ and differentiable on $(a, b)$, then there exists $c \in(a, b)$ such that
$$f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a) .$$
Graphically, the mean value theorem states that there exists at least one point $c \in(a, b)$ such that the slope of the tangent line to the graph of the function $f$ is equal to the slope of the straight line passing through $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$. For the function of Figure 5.4, there are two such values of $c$, namely $c_{1}$ and $c_{2}$.
Proof. Consider the function $g$ defined on $[a, b]$ by
$$g(x)=f(x)-f(a)-\left\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right .$$
Then $g$ is continuous on $[a, b]$, differentiable on $(a, b)$, with $g(a)=g(b)$. Thus by Rolle’s theorem there exists $c \in(a, b)$ such that $g^{\prime}(c)=0$. But
$$g^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
for all $x \in(a, b)$. Taking $x=c$ gives $f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, from which the conclusion now follows.

## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|Applications of the Mean Value Theorem

We now give several consequences of the mean value theorem. Additional applications are also given in the exercises. In the following, $I$ will denote an arbitrary interval in $\mathbb{R}$.
THEOREM 5.2.9 Suppose $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is differentiable on the interval $I$.
(a) If $f^{\prime}(x) \geq 0$ for all $x \in I$, then $f$ is monotone increasing on $I$.
(b) If $f^{\prime}(x)>0$ for all $x \in I$, then $f$ is strictly increasing on $I$.
(c) If $f^{\prime}(x) \leq 0$ for all $x \in I$, then $f$ is monotone decreasing on $I$.
(d) If $f^{\prime}(x)<0$ for all $x \in I$, then $f$ is strictly decreasing on $I$.
(e) If $f^{\prime}(x)=0$ for all $x \in I$, then $f$ is constant on $I$.
Proof. Suppose $x_{1}, x_{2} \in I$ with $x_{1}<x_{2}$. By the mean value theorem applied to $f$ on $\left[x_{1}, x_{2}\right]$
$$f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x_{2}-x_{1}\right)$$
for some $c \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$. If $f^{\prime}(c) \geq 0$, then $f\left(x_{2}\right) \geq f\left(x_{1}\right)$. Thus, if $f^{\prime}(x) \geq 0$ for all $x \in I$, we have $f\left(x_{2}\right) \geq f\left(x_{1}\right)$ for all $x_{1}, x_{2} \in I$ with $x_{1}<x_{2}$. Thus $f$ is monotone increasing on $I$. The other results follow similarly.

## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|The Mean Value Theorem

$$f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a) .$$

$\$ \$$g(x)=f(x)-f(a)-\backslash left \lfloor frac {f(\underline{b})-f(a)}{ ba } \backslash \right } Then \ \$$ iscontinuouson $\$[a, b] \$$differentiableon \(a, b) \$$, with $\$ g(a)=g(b) \$$. ThusbyRolle’stheoremthereexists \ c \in(a, b) \ s u c h t h a t \ g^{\prime}(c)=0 \$$.
$g^{\wedge}{\backslash$ prime $}(x)=f \wedge{\backslash$ prime $}(x)-\backslash \operatorname{frac}{f(b)-f(a)}{$ ba $}$
$\$ \$$对于所有 x \in(a, b). 服用 x=c 给 f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ，由此得出结论。 ## 数学代写|实分析代写Real analysis代考|Applications of the Mean Value Theorem 我们现在给出中值定理的几个结果。练习中还提供了其他应用程序。在下面的， I 将表示任意间隔 \mathbb{R}. 定理 5.2.9 假设 f: I \rightarrow \mathbb{R} 在区间上可微 I. (a) 如果 f^{\prime}(x) \geq 0 对所有人 x \in I ， 然后 f 是单调递增的 I. (b) 如果 f^{\prime}(x)>0 对所有人 x \in I ，然后 f 严格增加 I. (c) 如果 f^{\prime}(x) \leq 0 对所有人 x \in I ，然后 f 是单调递咸的 I. (d) 如果 f^{\prime}(x)<0 对所有人 x \in I ，然后 f 严格减少 I. (e) 如果 f^{\prime}(x)=0 对所有人 x \in I ，然后 f 是晅定的 I. 证明。认为 x_{1}, x_{2} \in I 和 x_{1}<x_{2} 通过应用中值定理 f 上 \left[x_{1}, x_{2}\right]$$
f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x_{2}-x_{1}\right)


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。