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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH612 Congruences and their Properties

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Congruences and their Properties

The theory of congruences is one of the basic instruments in number theory.

• Definition $1.45$.
Let $m$ be a positive integer and $x, y \in \mathbb{Z}$. We say that $x, y$ are congruent modulo $m$ if their difference $x-y$ is divisible by $m$, which means that there exists an integer $k$ such that $x-y=k m$ or $x=y+k m$. We use the notation:
$$x \equiv y(\bmod m)$$
which is called a congruence, and the number $m$ is called the modulus of this congruence.

If $x-y$ is not divisible by $m$ then we say that $x$ and $y$ are incongruent modulo $m$ and we write $x \not \equiv y(\bmod m)$.

• Examples 1.46.
1. $33 \equiv 3(\bmod 5)$ since $33-3=6 \cdot 5$.
$29 \equiv 5(\bmod 8)$ since $29-5=3 \cdot 8$.
We consider the relation:
$$\mathbf{R}={(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: x \equiv y(\bmod m)}$$
which is called the congruence relation modulo $\mathrm{m}$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Linear Congruences

• Definition 1.54.
An equation of the form
$$a x \equiv b(\bmod m),$$
where $a, b, m \in \mathbb{Z}$, with $m>0$, and $x$ is a variable, is called a linear congruence in one variable $x$.

An integer solution of congruence (1.30) is a residue class $[u]$ modulo $m$ which satisfies this congruence, i.e.,
$$a v \equiv b(\bmod m)$$

for all $v \in[u]$. If $0 \leq u<m$, then a solution of the congruence is written in the form:
$$x \equiv u(\bmod m) .$$
Since there exist only $m$ distinct residue classes modulo $m$, each congruence (1.30) possesses at most $m$ incongruent integer solutions ${ }^{1}$.

If $\operatorname{gcd}(a, m)=1$, then a solution of a congruence $a x \equiv 1(\bmod m)$ is called an inverse of $a$ modulo $m$.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Congruences and their Properties

• 定义 $1.45 .$
让 $m$ 是一个正整数并且 $x, y \in \mathbb{Z}$. 我们说 $x, y$ 是㧍照模㱚 $m$ 如果他们的区别 $x-y$ 可以被 $m$, 这意味着存在一个整数 $k$ 这样 $x-y=k m$ 或者 $x=y+k m$. 我们使用符号:
$$x \equiv y(\bmod m)$$
这被称为同余，和数 $m$ 称为这个同余的模。
如果 $x-y$ 不能被 $m$ 然后我们说 $x$ 和 $y$ 与模块不兼容 $m$ 我们写 $x \not \equiv y(\bmod m)$.
• 示例 $1.46$ 。

$33 \equiv 3(\bmod 5)$ 自从 $33-3=6 \cdot 5$.
$29 \equiv 5(\bmod 8)$ 自从 $29-5=3 \cdot 8$.

$$\mathbf{R}=(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}: x \equiv y(\bmod m)$$

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Linear Congruences

• 定义 $1.54$ 。
形式的方程
$$a x \equiv b(\bmod m),$$
在哪里 $a, b, m \in \mathbb{Z}$ ，和 $m>0$ ，和 $x$ 是一个变量，称为一个昗量的线性同余 $x$.
同余 (1.30) 的整数解是余数类 $[u]$ 模块 $m$ 满足这个同余，即
$$a v \equiv b(\bmod m)$$
对所有人 $v \in[u]$. 如果 $0 \leq u<m$ ，则同余的解写成以下形式:
$$x \equiv u(\bmod m) .$$
既然只存在 $m$ 不同的残基坣模 $m$, 每个同余 (1.30) 至多拥有 $m$ 不一致的整数解 1 .
如果 $\operatorname{gcd}(a, m)=1$ ，然后是同余的解 $a x \equiv 1(\bmod m)$ 被称为倒数 $a$ 模块 $m$.

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