Posted on Categories:Modern Algebra, 数学代写, 现代代数

# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH611 The Greatest Common Divisor. The Euclidean Algorithm

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|The Greatest Common Divisor. The Euclidean Algorithm

In this section, we introduce two important notions of number theory: The greatest common divisor and the least common multiple of integers, and consider the Euclidean algorithm, which is one of the oldest algorithms in mathematics. It was known already in ancient times and was used for the computation of the greatest common divisors of two integers. This algorithm was described by the ancient Greek mathematician Euclid, and was included in his famous book “Elements”. So far, it is known as the Euclidean Algorithm.

• Definition 1.11.
Let $a, b \in \mathbb{Z}$ with $(a \neq 0) \vee(b \neq 0)$. A common divisor of integers $a, b$ is an integer $d$ such that $d \mid a$ and $d \mid b$.

The largest positive integer $d$ such that $d \mid a$ and $d \mid b$ is called the greatest common divisor of $a$ and $b$. The greatest common divisor of $a$ and $b$ is denoted by $\operatorname{gcd}(a, b)$. So,
$$\operatorname{gcd}(a, b)=\max \left{s \in \mathbb{Z}^{+}:(s \mid a) \wedge(s \mid b)\right} .$$
In other words, a positive integer $d$ is the greatest common divisor of integers $a, b$ if it satisfies the following conditions:
1) $(d \mid a) \wedge(d \mid b)$
2) $(s \mid a) \wedge(s \mid b) \Longrightarrow s \leq d$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|The Extended Euclidean Algorithm

There is an important and very useful result which shows that the greatest common divisor of two integers can be presented as a linear combination of these integers.

Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero, and $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. Then, there exist integers $x, y$ such that
$$d=x a+y b$$
Proof.
Let $a, b \in \mathbb{Z}$, not both zero, and $d=\operatorname{gcd}(a, b)$. Consider the set of positive integers:
$$S={u a+v b:(u, v \in \mathbb{Z}) \wedge(u a+v b>0)}$$

$S$ is a non-empty subset in the set of natural numbers and so, by the WellOrdering Principle, it has a least element $s=x a+y b$ for some $x, y \in \mathbb{Z}$. We show that $s \mid a$ and $s \mid b$.

Assume that $a=s q+r$, where $0 \leq r<s$. Then, $r=a-s q=a-(x a+$ $y b)=(1-x) a-y b \in S$. Therefore, $(r \in S) \wedge(0 \leq r<s)$. Since $s$ is a least element in $S$, we obtain that $r=0$, i.e., $s \mid a$. Analogously, we can show that $s \mid b$. Therefore, by definition of $\operatorname{gcd}(a, b)$ we obtain that $s \leq d$. On the other hand, we have that $d \mid s$, since $s=x a+y b$ and $(d \mid a) \wedge(d \mid b)$. Hence, $d \leq s$. Therefore, $s=d$.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|The Greatest Common Divisor.The Euclidean Algorithm

㭌》中。到目前为止，它被称为欧几里得算法。

〈left 的分隔符缺失或无法识别

1) $(d \mid a) \wedge(d \mid b)$
2) $(s \mid a) \wedge(s \mid b) \Longrightarrow s \leq d$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|The Extended Euclidean Algorithm

$$d=x a+y b$$

$$S=u a+v b:(u, v \in \mathbb{Z}) \wedge(u a+v b>0)$$
$S$ 是自然数集合中的一个非空子集，因此，根据 WellOrdering 原则，它具有最小元素 $s=x a+y b$ 对于一些 $x, y \in \mathbb{Z}$. 我们表明 $s \mid a$ 和 $s \mid b .$

$(r \in S) \wedge(0 \leq r<s)$. 自从 $s$ 是最小元素 $S$ ，我们得到 $r=0$ ，那是， $s \mid a$. 类似地，我们可以证明 $s \mid b$. 因此，根据定义
$\operatorname{gcd}(a, b)$ 我们得到 $s \leq d$. 另一方面，我们有 $d \mid s$ ，自从 $s=x a+y b$ 和 $(d \mid a) \wedge(d \mid b)$. 因此， $d \leq s$. 所以， $s=d$.

avatest.org 为您提供可靠及专业的论文代写服务以便帮助您完成您学术上的需求，让您重新掌握您的人生。我们将尽力给您提供完美的论文，并且保证质量以及准时交稿。除了承诺的奉献精神，我们的专业写手、研究人员和校对员都经过非常严格的招聘流程。所有写手都必须证明自己的分析和沟通能力以及英文水平，并通过由我们的资深研究人员和校对员组织的面试。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。