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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Math1030Q Random Variables and their Distributions

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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Random Variables and their Distributions

In many situations, given some probability space $(\Omega, \mathrm{Pr})$, we are more interested in the behavior of functions $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ defined on the sample space $\Omega$ than in the probability space itself. Such functions are traditionally called random variables, a somewhat unfortunate terminology since these are functions. Now, given any real number $a$, the inverse image of $a$
$$X^{-1}(a)={\omega \in \Omega \mid X(\omega)=a},$$
is a subset of $\Omega$, thus an event, so we may consider the probability $\operatorname{Pr}\left(X^{-1}(a)\right)$, denoted (somewhat improperly) by
$$\operatorname{Pr}(X=a)$$
This function of $a$ is of great interest, and in many cases it is the function that we wish to study. Let us give a few examples.

数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Independence of Random Variables

Given two random variables $X$ and $Y$ on the same (discrete) probability space, it is useful to consider their joint distribution (really joint mass function) $f_{X, Y}$ given by
$f_{X, Y}(a, b)=\operatorname{Pr}(X=a$ and $Y=b)=\operatorname{Pr}({\omega \in \Omega \mid(X(\omega)=a) \wedge(Y(\omega)=b)})$, for any two reals $a, b \in \mathbb{R}$.

Definition 8.7. Two random variables $X$ and $Y$ defined on the same discrete probability space are independent if
$$\operatorname{Pr}(X=a \text { and } Y=b)=\operatorname{Pr}(X=a) \operatorname{Pr}(Y=b), \quad \text { for all } a, b \in \mathbb{R}$$
Remark: If $X$ and $Y$ are two continuous random variables, we say that $X$ and $Y$ are independent if
$$\operatorname{Pr}(X \leq a \text { and } Y \leq b)=\operatorname{Pr}(X \leq a) \operatorname{Pr}(Y \leq b), \quad \text { for all } a, b \in \mathbb{R}$$
It is easy to verify that if $X$ and $Y$ are discrete random variables, then the above condition is equivalent to the condition of Definition 8.7.

Example 8.15. If we consider the probability space of Example $8.2$ (rolling two dice), then we can define two random variables $S_{1}$ and $S_{2}$, where $S_{1}$ is the value on the first dice and $S_{2}$ is the value on the second dice. Then the total of the two values is the random variable $S=S_{1}+S_{2}$ of Example $8.10$. Since
$$\operatorname{Pr}\left(S_{1}=a \text { and } S_{2}=b\right)=\frac{1}{36}=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\operatorname{Pr}\left(S_{1}=a\right) \operatorname{Pr}\left(S_{2}=b\right)$$
the random variables $S_{1}$ and $S_{2}$ are independent.

离散数学代写

数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Random Variables and their Distributions

$$X^{-1}(a)=\omega \in \Omega \mid X(\omega)=a,$$

$$\operatorname{Pr}(X=a)$$

数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Independence of Random Variables

$$\operatorname{Pr}(X=a \text { and } Y=b)=\operatorname{Pr}(X=a) \operatorname{Pr}(Y=b), \quad \text { for all } a, b \in \mathbb{R}$$

$$\operatorname{Pr}(X \leq a \text { and } Y \leq b)=\operatorname{Pr}(X \leq a) \operatorname{Pr}(Y \leq b), \quad \text { for all } a, b \in \mathbb{R}$$

$$\operatorname{Pr}\left(S_{1}=a \text { and } S_{2}=b\right)=\frac{1}{36}=\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\operatorname{Pr}\left(S_{1}=a\right) \operatorname{Pr}\left(S_{2}=b\right)$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。