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数学代写|Matlab代考|CS1112 FINITE FOURIER SERIES

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Matlab CS1112是由数学家和计算机程序员Cleve Moler发明的。MATLAB的想法是基于他1960年代的博士论文。Moler成为新墨西哥大学的一名数学教授，并开始为他的学生开发MATLAB作为一种爱好。他在1967年与他曾经的论文导师George Forsythe开发了MATLAB的最初线性代数编程。随后在1971年开发了线性方程的Fortran 代码。

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数学代写|Matlab代考|FINITE FOURIER SERIES

In many applications we must construct a Fourier series from values given by data or a graph. Unlike the situation with analytic formulas where we have an infinite number of data points and, consequently, an infinite number of terms in the Fourier series, the Fourier series contains a finite number of sines and cosines where the number of coefficients equals the number of data points.

Assuming that these series are useful, the next question is how do we find the Fourier coefficients? We could compute them by numerically integrating Equation 5.1.6. However, the results would suffer from the truncation errors that afflict all numerical schemes. On the other hand, we can avoid this problem if we again employ the orthogonality properties of sines and cosines, now in their discrete form. Just as in the case of conventional Fourier series, we can use these properties to derive formulas for computing the Fourier coefficients. These results will be exact except for roundoff errors.

We start by deriving some preliminary results. Let us define $x_{m}=m P /(2 N)$. Then, if $k$ is an integer,
$$\sum_{m=0}^{2 N-1} \exp \left(\frac{2 \pi i k x_{m}}{P}\right)=\sum_{m=0}^{2 N-1} \exp \left(\frac{k m \pi i}{N}\right)=\sum_{m=0}^{2 N-1} r^{m}=\left{\begin{array}{cc} \frac{1-r^{2 N}}{1-r}=0, & r \neq 1 \ 2 N, & r=1 \end{array}\right.$$
because $r^{2 N}=\exp (2 \pi k i)=1$ if $r \neq 1$. If $r=1$, then the sum consists of $2 N$ terms, each of which equals one. The condition $r=1$ corresponds to $k=0, \pm 2 N, \pm 4 N, \ldots$. Taking the real and imaginary part of Equation 5.7.1,
$$\sum_{m=0}^{2 N-1} \cos \left(\frac{2 \pi k x_{m}}{P}\right)=\left{\begin{array}{cl} 0, & k \neq 0, \pm 2 N, \pm 4 N, \ldots, \ 2 N, & k=0, \pm 2 N, \pm 4 N, \ldots \end{array}\right.$$

and
$$\sum_{m=0}^{2 N-1} \sin \left(\frac{2 \pi k x_{m}}{P}\right)=0$$
for all $k$.
Consider now the following sum:
$\sum_{m=0}^{2 N-1} \cos \left(\frac{2 \pi k x_{m}}{P}\right) \cos \left(\frac{2 \pi j x_{m}}{P}\right)=\frac{1}{2} \sum_{m=0}^{2 N-1}\left{\cos \left[\frac{2 \pi(k+j) x_{m}}{P}\right]+\cos \left[\frac{2 \pi(k-j) x_{m}}{P}\right]\right}$
$= \begin{cases}0, & |k-j| \text { and }|k+m| \neq 0,2 N, 4 N, \ldots, \ N, & |k-j| \text { or }|k+m| \neq 0,2 N, 4 N, \ldots,(5.7 .5) \ 2 N, & |k-j| \text { and }|k+m|=0,2 N, 4 N, \ldots .\end{cases}$

数学代写|Matlab代考|Water depth at Buffalo, NY

Each entry 21 in Table 5.7.1 gives the observed depth of water at Buffalo, NY (minus the low-water datum of $568.6 \mathrm{ft}$ ) on the $15^{\text {th }}$ of the corresponding month during 1977 . Assuming that the water level is a periodic function of 1 year, and that we took the observations at equal intervals, let us construct a finite Fourier series from these data. This corresponds to computing the Fourier coefficients $A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{6}, B_{1}, \ldots, B_{5}$, which give the mean level and harmonic fluctuations of the depth of water, the harmonics having the periods 12 months, 6 months, 4 months, and so forth.

In this problem, $N=6$. Each data point gives the water depth for each month. From Equation 5.7.11 and Equation 5.7.12,
$$A_{k}=\frac{1}{6} \sum_{m=0}^{11} f\left(x_{m}\right) \cos \left(\frac{m k \pi}{6}\right), \quad k=0,1,2,3,4,5,6$$
and
$$B_{k}=\frac{1}{6} \sum_{m=0}^{11} f\left(x_{m}\right) \sin \left(\frac{m k \pi}{6}\right), \quad k=1,2,3,4,5$$

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数学代写|Matlab代考|FINITE FOURIER SERIES

$\$ \$$\backslash sum_ {m=0} \wedge{2 N-1} \backslash \exp \backslash \operatorname{left}\left(\backslash\right. frac \left{2 \backslash\right. pi ik \left.x_{-}{m}\right}{P} \backslash right )=\mid sum_ {m=0} \wedge{2 N-1} \backslash \operatorname{lexp} \backslash left (\backslash frac {k m \backslash pi i }{N} \backslash right )=\backslash sum {m=0} \wedge{2 N-1} r \wedge{m}=\backslash left {$$
$$【正确的。 because \ r^{2 N}=\exp (2 \pi k i)=1 \ i f \ r \neq 1 \ . If \ r=1 \$$, thenthesumconsistsof $\$ 2 N \$$terms, eachofwhichequalsone. Thecondition \ r=1 \$$ correspone
$\backslash$ sum $_{-}{\mathrm{m}=0} \wedge{2 \mathrm{~N}-1} \backslash \cos \backslash \operatorname{left}\left(\backslash\right.$ frac $\left{2 \backslash\right.$ pi k $\left.\mathrm{x}{-}{\mathrm{m}}\right}{\mathrm{P}} \backslash$ right $)=\backslash$ left { $$0, \quad k \neq 0, \pm 2 N, \pm 4 N, \ldots, 2 N, \quad k=0, \pm 2 N, \pm 4 N, \ldots$$ 【正确的。 $\$ \$$和$$ \sum{m=0}^{2 N-1} \sin \left(\frac{2 \pi k x_{m}}{P}\right)=0
$$对所有人 k. 现在考慮以下总和: \left 的分隔符忤夬失或无法识别 ={0, \quad|k-j| and |k+m| \neq 0,2 N, 4 N, \ldots, N, \quad|k-j| or |k+m| \neq 0,2 N, 4 N, \ldots,(5.7 .5) 2 N, \quad|k-j| and |k+m|=0,2 N, 4 N, \ldots 数学代写|Matlab代考|Water depth at Buffalo, NY 表 5.7.1 中的每个条目 21 给出了在纽约州布法罗市观测到的水深 (减去 568.6 \mathrm{ft} ) 在 15^{\text {th }} 1977 年的相应月份。假设水位是 1 年的 周期函数，并且我们以相等的间隔进行观测，让我们根据这些数据构造一个有限傅立叶级数。这对应于计算傅立叶系数 A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{6}, B_{1}, \ldots, B_{5} ，它給出了水深的平均水平和谐诐波动，谐波的周期为 12 个月、6个月、 4 个月，依此类推。 在这个问题中， N=6. 每个数据点给出每个月的水深。根据公式 5.7.11 和公式 5.7.12，$$
A_{k}=\frac{1}{6} \sum_{m=0}^{11} f\left(x_{m}\right) \cos \left(\frac{m k \pi}{6}\right), \quad k=0,1,2,3,4,5,6

B_{k}=\frac{1}{6} \sum_{m=0}^{11} f\left(x_{m}\right) \sin \left(\frac{m k \pi}{6}\right), \quad k=1,2,3,4,5


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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。