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# 数学代写|Matlab代考|MATH2370 FOURIER SERIES WITH PHASE ANGLES

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Matlab MATH2370是由数学家和计算机程序员Cleve Moler发明的。MATLAB的想法是基于他1960年代的博士论文。Moler成为新墨西哥大学的一名数学教授，并开始为他的学生开发MATLAB作为一种爱好。他在1967年与他曾经的论文导师George Forsythe开发了MATLAB的最初线性代数编程。随后在1971年开发了线性方程的Fortran 代码。

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## 数学代写|Matlab代考|FOURIER SERIES WITH PHASE ANGLES

Sometimes it is desirable to rewrite a general Fourier series as a purely cosine or purely sine series with a phase angle. Engineers often speak of some quantity leading or lagging another quantity. Re-expressing a Fourier series in terms of amplitude and phase provides a convenient method for determining these phase relationships.

Suppose, for example, that we have a function $f(t)$ of period $2 L$, given in the interval $[-L, L]$, whose Fourier series expansion is
$$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \left(\frac{n \pi t}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi t}{L}\right)$$
We wish to replace Equation $5.4 .1$ by the series:
$$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin \left(\frac{n \pi t}{L}+\varphi_{n}\right) .$$

## 数学代写|Matlab代考|COMPLEX FOURIER SERIES

So far in our discussion, we expressed Fourier series in terms of sines and cosines. We are now ready to re-express a Fourier series as a series of complex exponentials. There are two reasons for this. First, in certain engineering and scientific applications of Fourier series, the expansion of a function in terms of complex exponentials results in coefficients of considerable simplicity and clarity. Second, these complex Fourier series point the way to the development of the Fourier transform in the next chapter.

We begin by introducing the variable $\omega_{n}=n \pi / L$, where $n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ Using Euler’s formula we can replace the sine and cosine in the Fourier series by exponentials and find that
$$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2}\left(e^{i \omega_{n} t}+e^{-i \omega_{n} t}\right)+\frac{b_{n}}{2 i}\left(e^{i \omega_{n} t}-e^{-i \omega_{n} t}\right)$$

$$=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{2}-\frac{b_{n} i}{2}\right) e^{i \omega_{n} t}+\left(\frac{a_{n}}{2}+\frac{b_{n} i}{2}\right) e^{-i \omega_{n} t}$$
If we define $c_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-i b_{n}\right)$, then
$$c_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-i b_{n}\right)=\frac{1}{2 L} \int_{\tau}^{\tau+2 L} f(t)\left[\cos \left(\omega_{n} t\right)-i \sin \left(\omega_{n} t\right)\right] d t=\frac{1}{2 L} \int_{\tau}^{\tau+2 L} f(t) e^{-i \omega_{n} t} d t .$$
Similarly, the complex conjugate of $c_{n}, c_{n}^{}$, equals $$c_{n}^{}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+i b_{n}\right)=\frac{1}{2 L} \int_{\tau}^{\tau+2 L} f(t) e^{i \omega_{n} t} d t .$$

# Matlab代写

## 数学代写|Matlab代考|FOURIER SERIES WITH PHASE ANGLES

$$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \left(\frac{n \pi t}{L}\right)+b_{n} \sin \left(\frac{n \pi t}{L}\right)$$

$$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \sin \left(\frac{n \pi t}{L}+\varphi_{n}\right)$$

## 数学代写|Matlab代考|COMPLEX FOURIER SERIES

$$\begin{gathered} f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2}\left(e^{i \omega_{n} t}+e^{-i \omega_{n} t}\right)+\frac{b_{n}}{2 i}\left(e^{i \omega_{n} t}-e^{-i \omega_{n} t}\right) \ =\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{2}-\frac{b_{n} i}{2}\right) e^{i \omega_{n} t}+\left(\frac{a_{n}}{2}+\frac{b_{n} i}{2}\right) e^{-i \omega_{n} t} \end{gathered}$$

$$c_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-i b_{n}\right)=\frac{1}{2 L} \int_{\tau}^{\tau+2 L} f(t)\left[\cos \left(\omega_{n} t\right)-i \sin \left(\omega_{n} t\right)\right] d t=\frac{1}{2 L} \int_{\tau}^{\tau+2 L} f(t) e^{-i \omega_{n} t} d t$$

$$c_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+i b_{n}\right)=\frac{1}{2 L} \int_{\tau}^{\tau+2 L} f(t) e^{i \omega_{n} t} d t$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。