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We assume that $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ exists. We consider that $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}{\mathrm{j}: \mathrm{n}} \mid \mathrm{X}{\mathrm{i}: \mathrm{n}}-\mathrm{X}\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}, \mathrm{j}$ $>$ i. Fisz(1958) considered the characterization of exponential distribution by considering $\mathrm{j}=2, \mathrm{i}=1$ and $a>1$. Roger (1963) characterized the exponential distribution by considering $\mathrm{j}=\mathrm{i}+1$ and $a=1$. Ferguson (1963) characterized the exponential distribution with following distributions with $\mathrm{j}=\mathrm{i}+1$
The following theorem is given by Gupta and Ahsanullah (2004).
Theorem 8.2.1. Under some mild conditions on $\Psi(x)$ and $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ the relatioun
$$E\left(\psi\left(X_{i+s, n}\right) \mid X_{i, n}=x\right)=g(x)$$
uniquely determines the distribution $\mathrm{F}(\mathrm{x})$.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|CHARACTERIZATIONS BY IDENTICAL DISTRIBUTION

It is known that for exponential distribution $X_{1: n}$ and $X$ are identically distributed. Desu (1971) proved that if $\mathrm{X}{1: n}$ and $\mathrm{X}$ are equally distributed for all $n$, then the distribution of $\mathrm{X}$ is exponential. Ahsanullah (1975) proved that if for a fixed $\mathrm{n}, \mathrm{X}{1: \mathrm{n}}$ and $\mathrm{X}$ are identically distributed, then the distribution of $\mathrm{X}$ is exponential Ahsanullah (1978 a) proved that the Identical distributions of $\mathrm{D}{\mathrm{i}+1, \mathrm{n}}\left(=\left((\mathrm{n}-\mathrm{i}+1)\left(\mathrm{X}{\mathrm{i}+2,, \mathrm{n}}-\mathrm{X}_{\mathrm{i}, \mathrm{n})}\right.\right.\right.$, ) and $\mathrm{X}$ characterize the exponential distribution..
We will call a distribution function “new better than used, (NBU) if $1-\mathrm{F}(\mathrm{x}+\mathrm{y}) \leq(1-\mathrm{F}(\mathrm{x}))(1-\mathrm{F}(\mathrm{y}))$ for all $\mathrm{x}, \mathrm{y} \geq 0$ and “new worse than used (NWU) if $1-\mathrm{F}(\mathrm{x}+\mathrm{y}) \geq(1-\mathrm{F}(\mathrm{x}))(1-\mathrm{f}(\mathrm{y}))$.

For all $\mathrm{x}, \mathrm{y} \geq 0$. We say that $\mathrm{F}$ belongs to class $\mathrm{c}_{0}$ if $\mathrm{F}$ is either $\mathrm{NBU}$ or NWU.

The following theorem by Ahsanullah (1976) gives a characterization of exponential distribution based on the equality of two spacings.

Theorem 8.3.1. Let $\mathrm{X}$ be a non-negative random variable with an absolutely continuous cumulative distribution function $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ that is strictly increasing in $[0, \infty)$ and having probability density function $f(x)$, then the following two conditions are identical.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|CHARACTERIZATIONS BY IDENTICAL DISTRIBUTION

Ahsanullah (1976) 的以下定理给出了基于两个间距相等的指数分布的特征。

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