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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Math447 SKEW DISTRIBUTION

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|SKEW DISTRIBUTION

Azzalini (1985) introduced skew symmetric distribution. Suppose a random variable has symmetric distribution with $\mathrm{cdf} \mathrm{F}(\mathrm{x})$ and $\mathrm{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$. Then the corresponding skew symmetric distribution with pdf $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ was defined by Azzalini as $\mathrm{g}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{F}(\alpha x)$ for some $\alpha \neq 0$. For various skew symmetric distribution see Azzalini (2014).

Ahsanullah and Nevzorov (2017, ) gave characterizations of the skew tdistribution with 2 and 3 degrees of freedom.

The next two theorems give the characterizations of the Skew t distribution with 2 degrees of freedom.

The pdf $f_{2 s}(x)$ of the skew $\mathrm{t}$-distribution with 2 degrees of freedom is
$$f_{2 s \alpha}(\mathrm{x})=\frac{1}{\left(2+x^{2}\right)^{1 / 2}}\left(1+\frac{\alpha x}{\forall\left(1+\alpha^{2} x^{2}\right)}\right) .-\infty<x<\infty, \alpha \neq 0 \text {. }$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|LINDLEY DISTRIBUTION

The following Theorem was given by Ahsanullah and Bairamov (2000)
Theorem 7.11.1. Let $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ are $\mathrm{n}$ independent and identically distributed absolutely continuous positive random variables with cdf $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ and $\operatorname{pdf} f(x)$. Then
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{a}, 0<\mathrm{x} \leq \mathrm{a}$, a is any positive number
$=0$, otherwise.
If and only

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)} \text { and } 1+\sum_{i=1}^{n-1} U_{i},$$
have identical distribution, where $U_{1}, U_{2}, \ldots, U_{n}$ have independent and identical uniform distribution on $[0,1]$.

# 概率论代写

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|SKEW DISTRIBUTION

Azzalini (1985) 引入了偏斜对称分布。假设随机变量具有对称分布 $\operatorname{cdfF}(\mathrm{x})$ 和pdff $(\mathrm{x})$. 那对应的偏斜对称分布与 $\mathrm{pdfg}(\mathrm{x})$ 由 Azzalini 定义为 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{F}(\alpha x)$ 对于一些 $\alpha \neq 0$. 有关各种偏斜对称分布，请参见 Azzalini (2014)。
Ahsanullah 和 Nevzorov $(2017 ，)$ 描述了具有 2 和 3 目由度的偏斜分布。

PDF格式 $f_{2 s}(x)$ 偏斜的t- 具有 2 个自由度的分布是
$$f_{2 s \alpha}(\mathrm{x})=\frac{1}{\left(2+x^{2}\right)^{1 / 2}}\left(1+\frac{\alpha x}{\forall\left(1+\alpha^{2} x^{2}\right)}\right) \cdot-\infty<x<\infty, \alpha \neq 0 .$$

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|LINDLEY DISTRIBUTION

$=0$, 否则。

$$\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)} \text { and } 1+\sum_{i=1}^{n-1} U_{i},$$

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