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数学代写|概率论代考Probability Theory代写|MATH7710 LEVY DISTRIBUTION

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Ahsanullah and Nevzorov (2014) proved the following theorem.
Theorem 7.4.1. Let $\mathrm{X}{1}, \mathrm{X}{2}$, and $\mathrm{X}_{3}$ be independent and identically distributed continuous random variables with cdf $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ with $\mathrm{F}(0)=0$ and $\mathrm{F}(\mathrm{x})>0$ for all $\mathrm{x}>0$. Then $\mathrm{X}{3}$ and $\left(\mathrm{X}{1}+\mathrm{X}{2}\right) / 4$ are identically distributed if $\mathrm{X}{1}$ has the Levy distribution with $\operatorname{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$, where
$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2 \pi}\right)} \frac{e^{-\frac{\sigma}{2 x}}}{x^{\frac{3}{2}}}, \mathrm{x} \geq 0, \sigma>0$$
It can be shown that 0 for $\mathrm{n}+1$ identical continuous random variable, the identical distribution of $\mathrm{X}{\mathrm{n}+1}$ and $\left(\mathrm{X}{1}+\mathrm{X}{2}+\ldots+\mathrm{X}{\mathrm{n}}\right) / n^{2}$ characterize the Levy distribution.

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The following two theorems were proved by Ahsanullah et al. (2017).
Theorem 7.5.1. Suppose that the random variable $\mathrm{X}$ has an absolutely continuous $\operatorname{cdf} \mathrm{F}(\mathrm{x})$ with $\mathrm{F}(0)=0$ and $\mathrm{F}(\mathrm{x})>0$ and $\mathrm{F}(\mathrm{x})>0$ for all $\mathrm{x}>0$ with $\operatorname{pdf} \mathrm{f}(\mathrm{x})$. Assume $\mathrm{E}\left(X^{n}\right)<\infty$ for a positive number $\mathrm{n}$, then $\mathrm{X}$ has the Lindley distribution with pdf $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\beta^{2}}{1+\beta}(1+x) e^{-\beta x}$, if and only if $\mathrm{E}\left(X^{n} \mid X \geq x\right)=\frac{\sum_{k=0}^{n+1} c_{k} x^{n}}{1+x} r(x)$ where $c_{0}=\frac{n !(n+1+\beta)}{\beta^{n+1},}, c_{k+1}=\frac{\beta}{k+1} c_{k}, k=0,1,2, \ldots, n-1$, $$c_{n+1}=\frac{1}{\beta} \text { and } r(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$ Theorem 7.5.2. Suppose that the random variable $\mathrm{X}$ has an absolutely continuous $\operatorname{cdf} \mathrm{F}(\mathrm{x})$ with $\mathrm{F}(0)=0$ and $\mathrm{F}(\mathrm{x})>0$ and $\mathrm{F}(\mathrm{x})>0$ for all $\mathrm{x}>0$ with pdf $\mathrm{f}(\mathrm{x})$. Assume $\mathrm{E}\left(X^{n}\right)<\infty$ for a positive number $\mathrm{n}$, then $\mathrm{X}$ has the Lindley distribution with pdf $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{\beta^{2}}{1+\beta}(1+x) e^{-\beta x}$, if and only if
$$\mathrm{E}\left(X^{n} \mid X \leq x\right)=h(x) \tau(x), h(x)=\frac{c_{0} \beta^{n}-\sum_{k=0}^{n+1} c_{k} x^{k} !}{1+x}, \quad c_{0}=\frac{n !(n+1+\beta)}{\beta^{n+1},},$$
$$c_{k+1}=\frac{\beta}{k+1} c_{k}, k=0,1,2, \ldots, n-1, c_{n+1}=\frac{1}{\beta} \text { and } \tau(x)=\frac{f(x)}{F(x)} .$$

概率论代写

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Ahsanullah 和 Nevzorov (2014) 证明了以下定理。

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$$c_{n+1}=\frac{1}{\beta} \text { and } r(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

$$\mathrm{E}\left(X^{n} \mid X \leq x\right)=h(x) \tau(x), h(x)=\frac{c_{0} \beta^{n}-\sum_{k=0}^{n+1} c_{k} x^{k^{\prime}} !}{1+x}, \quad c_{0}=\frac{n !(n+1+\beta)}{\beta^{n+1}},$$
$$c_{k+1}=\frac{\beta}{k+1} c_{k}, k=0,1,2, \ldots, n-1, c_{n+1}=\frac{1}{\beta} \text { and } \tau(x)=\frac{f(x)}{F(x)}$$

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。