Posted on Categories:金融代写, 金融数学, 随机微积分

# 金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|MATH530 The Ito’s Integral

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|The Ito’s Integral

Let $\mathbb{S}$ be the class of stochastic processes $f$ of the form
$$f_{s}(\omega)=a_{0}(\omega) 1_{{0}}(s)+\sum_{j=0}^{m} a_{j+1}(\omega) 1_{\left(s_{j}, s_{j+1}\right]}(s)$$
where $0=s_{0}<s_{1}<s_{2}<\ldots<s_{m+1}<\infty, a_{j}$ is bounded $\mathcal{F}{s{j-1}}$ measurable random variable for $1 \leq j \leq(m+1)$, and $a_{0}$ is bounded $\mathcal{F}{0}$ measurable. Elements of $\mathbb{S}$ will be called simple processes. For an $f$ given by (3.3.1), we define $X=\int f d W$ by $$X{t}(\omega)=\sum_{j=0}^{m} a_{j+1}(\omega)\left(W_{s_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{s_{j} \wedge t}(\omega)\right) .$$
$a_{0}$ does not appear on the right side because $W_{0}=0$. It can be easily seen that $\int f d W$ defined via (3.3.1) and (3.3.2) for $f \in \mathbb{S}$ does not depend upon the representation (3.3.1). In other words, if $g$ is given by
$$g_{t}(\omega)=b_{0}(\omega) 1_{{0}}(s)+\sum_{j=0}^{n} b_{j+1}(\omega) 1_{\left[r_{j}, r_{j+1}\right]}(t)$$
where $0=r_{0}<r_{1}<\ldots<r_{n+1}$ and $b_{j}$ is $\mathcal{F}{r{j-1}}$ measurable bounded random variable, $1 \leq j \leq(n+1)$, and $b_{0}$ is bounded $\mathcal{F}{0}$ measurable and $f=g$, then $\int f d W=$ $\int g d W$, i.e. \begin{aligned} \sum{j=0}^{m} a_{j+1}(\omega)\left(W_{s_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{s_{j} \wedge t}(\omega)\right) \ &=\sum_{j=0}^{n} b_{j+1}(\omega)\left(W_{r_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{r_{j} \wedge t}(\omega)\right) . \end{aligned}

## 金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Multidimensional Ito’s Integral

Let $W=\left(W^{1}, W^{2}, \ldots, W^{d}\right)$ be $d$-dimensional Brownian motion, where $W^{j}$ is the $j$ th component. In other words, each $W^{j}$ is a real-valued Brownian motion and $W^{1}, W^{2}, \ldots, W^{d}$ are independent. Suppose further that $\left(\mathcal{F}{.}\right)$is a filtration such that 3.4 Multidimensional Ito’s Integral 79 $\left(W{t}, \mathcal{F}{t}\right){{t \geq 0}}$ is a Wiener martingale. Thus for each $s,\left{W_{t}-W_{s}: t \geq s\right}$ is independent of $\mathcal{F}{s}$. Denoting $\theta=\left(\theta^{1}, \ldots, \theta^{d}\right) \in \mathbb{R}^{d}$ and defining \begin{aligned} X{t}^{\theta} &=\sum_{j=1}^{d} \theta^{j} W_{t}^{j} \ M_{t}^{\theta} &=\left(X_{t}^{\theta}\right)^{2}-t \end{aligned}
we have
$$\forall \theta \in \mathbb{R}^{d} \text { with }|\theta|=1 ; \quad X^{\theta}, M^{\theta} \text { are }\left(\mathcal{F}{\text {. }}\right) \text {-martingales }$$ The argument given in the proof of next lemma is interesting. Throughout this section, the filtration $\left(\mathcal{F}{.}\right)$will remain fixed.
Lemma 3.22 For $j \neq k, W^{j} W^{k}$ is also a martingale.
Proof Let $X_{t}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(W_{t}^{j}+W_{t}^{k}\right)$. Then, as seen above, $X$ is a Brownian motion and hence $X_{t}^{2}-t$ is a martingale. Note that
\begin{aligned} X_{t}^{2}-t &=\frac{1}{2}\left[\left(W_{t}^{j}\right)^{2}+\left(W_{t}^{k}\right)^{2}+2 W_{t}^{j} W_{t}^{k}\right]-t \ &=\frac{1}{2}\left[\left(W_{t}^{j}\right)^{2}-t\right]+\frac{1}{2}\left[\left(W_{t}^{k}\right)^{2}-t\right]+W_{t}^{j} W_{t}^{k} \end{aligned}
Since the left-hand side above as well as the first two terms of right-hand side above are martingales, it follows that so is the third term.

## 金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|The Ito’s Integral

$$f_{s}(\omega)=a_{0}(\omega) 1_{0}(s)+\sum_{j=0}^{m} a_{j+1}(\omega) 1_{\left(s_{j,}, s_{j+1}\right]}(s)$$

$$X t(\omega)=\sum_{j=0}^{m} a_{j+1}(\omega)\left(W_{s_{j+1} \wedge t}(\omega)-W_{s_{j} \wedge t}(\omega)\right) .$$
$a_{0}$ 不会出现在右侧，因为 $W_{0}=0$. 不难看出 $\int f d W$ 通过 (3.3.1) 和 (3.3.2) 定义 $f \in \mathbb{S}$ 不依赖于表示 (3.3.1) 。换句话说，如果 $g$ 是 (谁) 给的
$$g_{t}(\omega)=b_{0}(\omega) 1_{0}(s)+\sum_{j=0}^{n} b_{j+1}(\omega) 1_{\left[r_{j}, r_{j+1}\right]}(t)$$

$$\sum j=0^{m} a_{j+1}(\omega)\left(W_{s j \nmid \Lambda t}(\omega)-W_{s j \lambda t}(\omega)\right)=\sum_{j=0}^{n} b_{j+1}(\omega)\left(W_{r_{j \downarrow 1 \Lambda t}}(\omega)-W_{r_{j \jmath t}}(\omega)\right) .$$

## 金融代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|Multidimensional Ito’s Integral

$$X t^{\theta}=\sum_{j=1}^{d} \theta^{j} W_{t}^{j} M_{t}^{\theta} \quad=\left(X_{t}^{\theta}\right)^{2}-t$$

$$\forall \theta \in \mathbb{R}^{d} \text { with }|\theta|=1 ; \quad X^{\theta}, M^{\theta} \text { are }(\mathcal{F} .) \text {-martingales }$$

$$X_{t}^{2}-t=\frac{1}{2}\left[\left(W_{t}^{j}\right)^{2}+\left(W_{t}^{k}\right)^{2}+2 W_{t}^{j} W_{t}^{k}\right]-t \quad=\frac{1}{2}\left[\left(W_{t}^{j}\right)^{2}-t\right]+\frac{1}{2}\left[\left(W_{t}^{k}\right)^{2}-t\right]+W_{t}^{j} W_{t}^{k}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。