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# 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|Math236 SAMPLE FUNCTION PROPERTIES

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## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|SAMPLE FUNCTION PROPERTIES

The Brownian sheet has continuous paths, but we would not expect them to be differentiable – indeed, nowhere-differentiable processes such as Brownian motion can be embedded in the sheet, as we have just seen. We will see just how continuous they are. This will give us an excuse to derive several beautiful and useful inequalities, beginning with an elegant result of Garsia, Rodemich, and Rumsey.
Let $\Psi(x)$ and $p(x)$ be positive continuous functions on $(-\infty, \infty)$ such that both $\Psi$ and $p$ are symmetric about $0, p(x)$ is increasing for $x>0$ and $p(0)=0$, and $\Psi$ is convex with $\lim {x \rightarrow \infty} \Psi(x)=\infty$. If $R$ is a cube in $R^{n}$, let $e(R)$ be the length of its edge and $|R|$ its volume. Let $R{1}$ be the unit cube.
THEOREM 1.1. If $f$ is a measurable function on $R_{1}$ such that
$$\int_{R_{1}} \int_{R_{1}} \Psi\left(\frac{f(y)-f(x)}{p(|y-x| / \sqrt{n})}\right) d x d y=B<\infty,$$
then there is a set $x$ of measure zero such that if $x, y \& R_{1}-K$
$$|f(y)-f(x)| \leq 8 \int_{0}^{|y-x|} \Psi^{-1}\left(\frac{B}{u^{2 n}}\right) d p(u) .$$
If $f$ is continuous, (1.3) holds for all $x$ and $y$.

PROOF. If $Q \subset R_{1}$ is a rectangle and $x, y \in Q$, then $|y-x| \leq \sqrt{n} e(Q) . \Psi$ is increasing, so that (3.2) implies
$$\int_{Q} \int_{Q} \Psi\left(\frac{f(y)-f(x)}{p(e(Q))}\right) d x d y \leq B .$$
Let $Q_{0} \supset Q_{1} \supset \cdots$ be a sequence of subcubes of $R_{1}$ such that
$$p\left(e\left(Q_{j}\right)\right)=\frac{1}{2} p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right) .$$
For any cube $Q$, let $f_{Q}=\frac{1}{|Q|} \int_{Q} f(x) d x$.
Since $\Psi$ is convex
\begin{aligned} \Psi\left(\frac{f_{j}{ }^{-f_{j-1}}}{p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right)}\right) & \leq \frac{1}{\left|Q_{j-1}\right|} \int_{Q_{j-1}} \Psi\left(\frac{f_{Q_{j}}-f(x)}{p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right)}\right) d x \ & \leq \frac{1}{Q_{j-1}|| Q_{j} \mid} \int_{Q_{j-1}} \int_{Q_{j}} \Psi\left(\frac{f(y)-f(x)}{p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right)}\right) d x d y \end{aligned}
By $(1.4)$ this is
$$\leq \frac{B}{Q_{j-1}|| Q_{j} \mid} .$$

## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|SOME REMARKS ON THE MARKOV PROPERTY

In order to keep our notation simple, let us consider only the case $\mathrm{n}=2$,
so that the Brownian sheet becomes a two-parameter process ${ }{\text {st }}$. We first would like to examine the analogue of the strong Markov property of Brownian motion: that Brownian motion restarts after each stopping time. We don’t have stopping times in our set-up, but we can define stopping points. Let $(\Omega, \underline{\underline{F}}, \mathrm{P})$ be a probability space. Recall that ${\underset{F}{=}}{}^{}=\sigma\left{w_{s}: s_{i} \leq t_{i}\right.$ for at least one $\left.i=1,2 .\right}$ A random variable
$T=\left(T_{1}, T_{2}\right)$ with values in $R_{+}^{2}$ is a weak stopping point if the set
$$\left{T_{1}}} .$$ The main example we have in mind is this: let $\left.\underline{\underline{F}}{\mathrm{t}{1}}^{1}=\sigma{ }{\mathrm{w}{\mathrm{s}{1}} \mathrm{~s}{2}}: \mathrm{s}{1} \leq \mathrm{t}{1}\right}$. If $\mathrm{F}{2}$ is a stopping time relative to the filtration $\left(\underline{\underline{F}}^{2} \mathrm{t}{2}\right)$ and if $\mathrm{s}{1} \geq 0$ is measurable relative to $\mathrm{F}{\mathrm{F}{2}}^{2}$, then $\left(\mathrm{S}{1}, \mathrm{~T}{2}\right)$ is a weak stopping point. For a weak stopping point $T$, set $$\stackrel{\mathrm{F}}{\underline{T}}^{}=\left{\mathrm{A} \varepsilon \underline{\mathrm{F}}: \mathrm{A} \cap\left{\mathrm{T}{1}<\mathrm{t}{1}, \mathrm{~T}{2}<\mathrm{t}{2}\right} \varepsilon \underline{\underline{\mathrm{F}}}{\mathrm{t}}^{*}\right} \text {. }$$

# 随机偏微分方程代写

## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|SAMPLE FUNCTION PROPERTIES

$\lim x \rightarrow \infty \Psi(x)=\infty$. 如果 $R$ 是一个立方体 $R^{n}$ ，让 $e(R)$ 是它的边豚的长度和 $|R|$ 它的体积。让 $R 1$ 成为单位立方体。

$$\int_{R_{1}} \int_{R_{1}} \Psi\left(\frac{f(y)-f(x)}{p(|y-x| / \sqrt{n})}\right) d x d y=B<\infty$$

$$|f(y)-f(x)| \leq 8 \int_{0}^{|y-x|} \Psi^{-1}\left(\frac{B}{u^{2 n}}\right) d p(u) .$$

$$\int_{Q} \int_{Q} \Psi\left(\frac{f(y)-f(x)}{p(e(Q))}\right) d x d y \leq B$$

$$p\left(e\left(Q_{j}\right)\right)=\frac{1}{2} p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right) .$$

$$\Psi\left(\frac{f_{j}^{-f_{j-1}}}{p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right)}\right) \leq \frac{1}{\left|Q_{j-1}\right|} \int_{Q_{j-1}} \Psi\left(\frac{f Q_{j}-f(x)}{p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right)}\right) d x \quad \leq \frac{1}{Q_{j-1} | Q_{j} \mid} \int_{Q_{j-1}} \int_{Q_{j}} \Psi\left(\frac{f(y)-f(x)}{p\left(e\left(Q_{j-1}\right)\right)}\right) d x d y$$

$$\leq \frac{B}{Q_{j-1}|| Q_{j} \mid}$$

## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|SOME REMARKS ON THE MARKOV PROPERTY

\left 的分隔符缺失或无法识别 随机变量
$T=\left(T_{1}, T_{2}\right)$ 与值 $R_{+}^{2}$ 如果集合是一个弱停止点
Yleft 的分隔符缺失或无法识别

$\mathrm{s} 1 \geq 0$ 是相对于可测量的 $F F 2^{2}$ ，然后 $(\mathrm{S} 1, \mathrm{~T} 2)$ 是一个蔳弱的停止点。对于一个较弱的停止点 $T$ ，放
\left 的分隔符缺失或无法识别

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