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# 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|MATH674 PARABOLIC EQUATIONS IN R

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## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|PARABOLIC EQUATIONS IN R

Let $\left{M_{t}, \stackrel{F}{=} t^{\prime} t \geq 0\right}$ be a worthy martingale measure on $R^{d}$ with covariation
measure $Q(d x d y d s)=d\langle M(d x), M(d y)\rangle$ and dominating measure $K$. Let $\mathcal{G}(\Lambda)=E{K(\Lambda)}$.
Assume that for some $p>0$ and all $T>0$
$$\int_{\mathrm{d}^{\mathrm{x}}[0, \mathrm{~T}]} \frac{1}{\left(1+|x|^{p}\right)\left(1+|y|^{p}\right)} \mu(d x d y d s)<\infty$$
Then $M_{t}(\phi)=\int_{R^{d} \times[0, T]} \phi(x) M(d x$ ds $)$ exists for each $\phi \in \underline{S}\left(R^{d}\right)$.

Let $\mathrm{L}$ be a uniformly elliptic self-adjoint second order differential operator with bounded smooth coefficients. Let $T$ be a differential operator on $R$ of finite order with bounded smooth coefficients. (Note that $T$ and I operate on $x$, not on $t)$. Consider the SPDE
$$\left{\begin{array}{l} \frac{\partial V}{\partial t}=L V+\dot{M} \ V(x, 0)=0 \end{array}\right.$$
We will clearly need to let $V$ and $M$ have distribution values, if only to make sense of the term TM. We will suppose they have values in the schwartz space $\stackrel{S}{N}^{\prime}\left(\mathbf{R}^{d}\right)$.

## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|AN EIGENFUNCTION EXPANSION

We can learn a lot from an examination of the of the case $T \equiv 1$. Suppose $D$ is a bounded domain with a smooth boundary. The operator $-\mathrm{L}$ (plus boundary conditions) admits a cons $\left{\phi_{j}\right}$ of smooth eigenfunctions with eigenvalues $\lambda_{j} \cdot$ These $^{*}$ satisfy
$$\sum_{j}\left(1+\lambda_{j}\right)^{-p}<\infty \quad \text { if } p>d / 2 .$$
$$\sup {j}\left|\phi{j}\right|_{\infty}^{2}\left(1+\lambda_{j}\right)^{-p}<\infty \quad \text { if } p>d / 2 \text {. }$$
Let us proceed formally for the moment. We can expand the Green’s
function:
$$G_{t}(x, y)=\sum_{i} \phi_{j}(x) \phi_{j}(y) e^{-\lambda j^{t}} .$$

# 随机偏微分方程代写

$$\int_{\left.\mathrm{d}^{\mathrm{x}} 0, \mathrm{~T}\right]} \frac{1}{\left(1+|x|^{p}\right)\left(1+|y|^{p}\right)} \mu(d x d y d s)<\infty$$ 然后 $M_{t}(\phi)=\int_{R^{d} \times[0, T]} \phi(x) M(d x \mathrm{ds})$ 存在于每个 $\phi \in \underline{S}\left(R^{d}\right)$. 让 $\mathrm{L}$ 是具有有界平滑系数的均匀棚圆自伴二阶微分算子。让 $T$ 是一个微分算子 $R$ 有界平㳑系数的有限阶。（注意 $T$ 我操作 $x$ ，不开 $t)$. 考虑 SPDE $\$ \$$\left } {$$ \frac{\partial V}{\partial t}=L V+\dot{M} V(x, 0)=0 $$\正确的。 \\ 我们显然需要让 V 和 M 有分布值，如果只是为了理解术语 \mathrm{TM} 。我们将假设它们在 \operatorname{schwartz} 空间中具有值 S^{\prime}\left(\mathbf{R}^{d}\right). ## 金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic Differential Equation代考|AN EIGENFUNCTION EXPANSION 我们可以从䅁件的审育中学到很多东西 T \equiv 1. 认为 D 是具有平滑边界的有界域。运营商 -\mathrm{L} (加上边界条件) 承认一个缺点 }left 的分隔符缺失或无法识别 具有特征值的平滑特征函数 \lambda_{j} ·这些 * 满足$$ \sum_{j}\left(1+\lambda_{j}\right)^{-p}<\infty \quad \text { if } p>d / 2 .
$$\sup j|\phi j|{\infty}^{2}\left(1+\lambda{j}\right)^{-p}<\infty \quad if p>d / 2 让我们现在正式进行。我们可以扩展格林 函数:$$
G_{t}(x, y)=\sum_{i} \phi_{j}(x) \phi_{j}(y) e^{-\lambda j^{t}} .


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## MATLAB代写

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