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拓扑学Topology MATH452拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE DEFINITION AND SOME EXAMPLES
We begin by restating the definition of a Banach space.
A normed linear space is a linear space $N$ in which to each vector $x$ there corresponds a real number, denoted by $|x|$ and called the norm of $x$, in such a manner that
(1) $|x| \geq 0$, and $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$;
(2) $|x+y| \leq|x|+|y|$;
(3) $|\alpha x|=|\alpha||x|$.
The non-negative real number $|x|$ is to be thought of as the length of the vector $x$. If we regard $|x|$ as a real function defined on $N$, this function is called the norm on $N$. It is easy to verify that the normed linear space $N$ is a metric space with respect to the metric $d$ defined by $d(x, y)=|x-y|$. A Banach space is a complete normed linear space. Our main interest in this chapter is in Banach spaces, but there are several points in the body of the theory at which it is convenient to have the basic definitions and some of the simpler facts formulated in terms of normed linear spaces. For this reason, and also to emphasize the role of completeness in theorems which require this assumption, we work in the more general context whenever possible. The reader will find that the deeper theorems, in which completeness hypotheses are necessary, often make essential use of Baire’s theorem.
Several simple but important facts about a normed linear space are based on the following inequality:
$$
||x|-|y|| \leq|x-y| .
$$
To prove this, it suffices to prove that
$$
|x|-|y| \leq|x-y| ;
$$
for it follows from (2) that we also have
$$
-(|x|-|y|)=|y|-|x| \leq|y-x|=|-(x-y)|=|x-y|,
$$
which together with (2) yields (1). We now prove (2) by observing that $|x|=|(x-y)+y| \leq|x-y|+|y|$. The main conclusion we draw from (1) is that the norm is a continuous function:
$$
x_{n} \rightarrow x \Rightarrow\left|x_{n}\right| \rightarrow|x| .
$$
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|CONTINUOUS LINEAR TRANSFORMATIONS
Let $N$ and $N^{\prime}$ be normed linear spaces with the same scalars, and let $T$ be a linear transformation of $N$ into $N^{\prime} .1$ When we say that $T$ is continuous, we mean that it is continuous as a mapping of the metric space $N$ into the metric space $N^{\prime}$. By Theorem $13-\mathrm{B}$, this amounts to the condition that $x_{n} \rightarrow x$ in $N \Rightarrow T\left(x_{n}\right) \rightarrow T(x)$ in $N^{\prime}$. Our main purpose in this section is to convert the requirement of continuity into several more useful equivalent forms and to show that the set of all continuous linear transformations of $N$ into $N^{\prime}$ can itself be made into a normed linear space in a natural way.
Theorem A. Let $N$ and $N^{\prime}$ be normed linear spaces and $T$ a linear transformation of $N$ into $N^{\prime}$. Then the following conditions on $T$ are all equivalent to one another:
(1) T is continuous;
(2) Tis continuous at the origin, in the sense that $x_{n} \rightarrow 0 \Rightarrow T\left(x_{n}\right) \rightarrow 0$;
${ }^{1}$ In the future, whenever we mention two normed linear spaces with a view to considering linear transformations of one into the other, we shall always assumewithout necessarily saying so explicitly-that they have the same scalars.
(3) there exists a real number $K \geq 0$ with the property that $|T(x)|$ $\leq K|x|$ for every $x \& N ;$
(4) if $S={x:|x| \leq 1}$ is the closed unit sphere in $N$, then its image $T(S)$ is a bounded set in $N^{\prime}$.
PRooF. (1) $\Leftrightarrow(2)$. If $T$ is continuous, then since $T(0)=0$ it is certainly continuous at the origin. On the other hand, if $T$ is continuous at the origin, then $x_{n} \rightarrow x \Leftrightarrow x_{n}-x \rightarrow 0 \Rightarrow T\left(x_{n}-x\right) \rightarrow 0 \Leftrightarrow T\left(x_{n}\right)-T(x)$ $\rightarrow 0 \Leftrightarrow T\left(x_{n}\right) \rightarrow T(x)$, so $T$ is continuous.
(2) $\Leftrightarrow$ (3). It is obvious that (3) $\Rightarrow$ (2), for if such a $K$ exists, then $x_{n} \rightarrow 0$ clearly implies that $T\left(x_{n}\right) \rightarrow 0$. To show that $(2) \Rightarrow(3)$, we assume that there is no such $K$. It follows from this that for each positive integer $n$ we can find a vector $x_{n}$ such that $\left|T\left(x_{n}\right)\right|>n\left|x_{n}\right|$, or equivalently, such that $\left|T\left(x_{n} / n\left|x_{n}\right|\right)\right|>1$. If we now put
$$
y_{n}=x_{n} / n\left|x_{n}\right|,
$$
then it is easy to see that $y_{n} \rightarrow 0$ but $T\left(y_{n}\right) \rightarrow 0$, so $T$ is not continuous at the origin.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE DEFINITION AND SOME EXAMPLES
我们首先重申巴拿赫空间的定义。
带范数的线性空间是线性空间 $N$ 其中每个向量 $x$ 对应一个实数，记为 $|x|$ 并称其为范数 $x$ ，使得
(1) $|x| \geq 0$ ，和 $|x|=0 \Leftrightarrow x=0$;
(2) $|x+y| \leq|x|+|y|$;
(3) $|\alpha x|=|\alpha||x|$.
非负实数 $|x|$ 被认为是向量的长度 $x$. 如果我们认为 $|x|$ 作为定义的实函数 $N$, 这个函数称为范数 $N$. 很容易验证带
范数的线性空间 $N$ 是关于度量的度量空间 $d$ 被定义为 $d(x, y)=|x-y|$. Banach 空间是完全范数线性空间。
我们本章的主要兴趣在于 Banach 空间，但在理论主体中有几个点可以方便地用范数线性空间来表述基本定义
和一些更简单的事实。出于这个原因，并且为了强调完整性在需要这个假设的定理中的作用，我们尽可能在更
一般的背景下工作。读者会发现更深层次的定理，其中完备性假设是必要的，经常在本质上使用拜尔定理。
关于规范线性空间的几个简单但重要的事实基于以下不等式:
$$
|| x|-| y|| \leq|x-y| .
$$
为了证明这一点，只需证明
$$
|x|-|y| \leq|x-y|
$$
因为从 (2) 中我们也有
$$
-(|x|-|y|)=|y|-|x| \leq|y-x|=|-(x-y)|=|x-y|,
$$
与 (2) 一起产生 (1)。我们现在通过观察证明 (2) $|x|=|(x-y)+y| \leq|x-y|+|y|$. 我们从 (1) 得出 的主要结论是范数是一个连续函数:
$$
x_{n} \rightarrow x \Rightarrow\left|x_{n}\right| \rightarrow|x| .
$$
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|CONTINUOUS LINEAR TRANSFORMATIONS
让 $N$ 和 $N^{\prime}$ 是具有相同标量的规范线性空间，并让 $T$ 是一个线性变换 $N$ 进入 $N^{\prime} .1$ 当我们这么说 $T$ 是连续的，我们 的意思是它作为度量空间的映射是连续的 $N$ 进入度量空间 $N^{\prime}$. 按定理 $13-\mathrm{B}$, 这相当于条件 $x_{n} \rightarrow x$ 在
$N \Rightarrow T\left(x_{n}\right) \rightarrow T(x)$ 在 $N^{\prime}$. 我们在本节中的主要目的是将连续性的要求转换为几种更有用的等价形式，并表 明所有连畦线性变换的集合 $N$ 进入 $N^{\prime}$ 本身可以以自然的方式制成规范的线性空间。
定理 A. 让 $N$ 和 $N^{\prime}$ 被规范线性空间和 $T$ 的线性变换 $N$ 进入 $N^{\prime}$. 然后满足以下条件 $T$ 都等价于:
(1) $T$ 是连续的;
(2) Ti 在原点连续，即 $x_{n} \rightarrow 0 \Rightarrow T\left(x_{n}\right) \rightarrow 0$;
${ }^{1}$ 将来，每当我们提到两个范数线性空间以考虑一个到另一个的线牲变换时，我们总是会假设而不一定这么明确
地说 $-$ 它们具有相同的标量。
(3) 存在一个实数 $K \geq 0$ 与财产 $|T(x)| \leq K|x|$ 对于每个 $x \& N$;
(4) 如果 $S=x:|x| \leq 1$ 是封闭的单位球体 $N$ ，然后它的图像 $T(S)$ 是一个有界集 $N^{\prime}$.
证明。(1) $\Leftrightarrow(2)$. 如果 $T$ 是连续的，那么因为 $T(0)=0$ 它在原点肯定是连续的。另一方面，如果 $T$ 在原点是连
续的，那么䣋 $\rightarrow x \Leftrightarrow x_{n}-x \rightarrow 0 \Rightarrow T\left(x_{n}-x\right) \rightarrow 0 \Leftrightarrow T\left(x_{n}\right)-T(x) \rightarrow 0 \Leftrightarrow T\left(x_{n}\right) \rightarrow T(x)$ ，所以 $T$ 是连续的。
(2) $\Leftrightarrow(3)$ 。显然 $(3) \Rightarrow(2)$ ，因为如果这样 $K$ 存在，那 $/ x_{n} \rightarrow 0$ 明确暗示 $T\left(x_{n}\right) \rightarrow 0$. 为了表明 $(2) \Rightarrow(3)$ ， 我们假设不存在这样的 $K$. 由此得出，对于每个正整数 $n$ 我们可以从找到一个向量 $x_{n}$ 文样 $\left|T\left(x_{n}\right)\right|>n\left|x_{n}\right|$ ，或 等价地，使得 $\left|T\left(x_{n} / n\left|x_{n}\right|\right)\right|>1$. 如果我们现在把
$$
y_{n}=x_{n} / n\left|x_{n}\right|,
$$
那么很容易看出 $y_{n} \rightarrow 0$ 但 $T\left(y_{n}\right) \rightarrow 0$ ，所以 $T$ 在原点不连续。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。