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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|MAS4203 Integers of Special Forms

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Perfect Numbers

In ancient times, Greek Mathematicians have found some interesting integers which can be written as sum of their divisors. For example $6=1+2+3$ where $1,2,3$ are divisors of 6 . They have named those type of integers as perfect integers or perfect numbers. Thus the definition of perfect number are as follows:
Definition 10.2.1. If $n$ is a positive integer with $\sigma(n)=2 n$, then $n$ is said to be a perfect number.
For example we have
\begin{aligned} \sigma(28) &=1+2+4+7+14+28=56=2 \cdot 28 \ \sigma(6) &=1+2+3+6=12=2 \cdot 6 \end{aligned}

Here 6,28 are perfect numbers.
Also, the Greek Mathematicians discovered the method of finding an even perfect number. Here the perfect number 6,28 can be written as $6=2 \cdot 3=$ $2^{2-1}\left(2^{2}-1\right), 28=2^{3-1}\left(2^{3}-1\right)=4 \cdot 7$ respectively. Thus the numbers are in the multiplication of even and prime numbers. Euclid first tried to find the form of a perfect number. After 2000 years Euler gave us a concrete proof about the form of a perfect number. Now the following theorem deals with the form of a perfect number.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Worked out Exercises

Problem 10.3.1. Show that the integer $n=2^{10}\left(2^{11}-1\right)$ is not a perfect number.
Solution 10.3.1. Note that $n=2^{10}\left(2^{11}-1\right)$. To show $n$ is a perfect number, it’s suffices to show that $\sigma(n)=2 n$. Since $\operatorname{gcd}\left(2^{10}, 2^{11}-1\right)=1$, therefore $\sigma(n)=\sigma\left(2^{10}\right) \sigma\left(2^{11}-1\right)$ as $\sigma$ is multiplicative.

Furthermore, $2^{11}-1$ has a prime factorization given by $2^{11}-1=23 \cdot 89$. For any prime $p, \sigma(p)=p+1$ holds. Then $\sigma\left(2^{11}-1\right)=\sigma(23) \sigma(89)=24 \times 90$ yields,
\begin{aligned} \sigma(n) &=2^{11} \times\left(1-\frac{1}{2}\right) \times 24 \times 90 \ &=2^{10} \times 24 \times 90 \ & \neq 2^{11} \times\left(2^{11}-1\right) \ & \neq 2 n . \end{aligned}
Therefore $n$ is not a perfect number.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Perfect Numbers

$$\sigma(28)=1+2+4+7+14+28=56=2 \cdot 28 \sigma(6) \quad=1+2+3+6=12=2 \cdot 6$$

$2^{2-1}\left(2^{2}-1\right), 28=2^{3-1}\left(2^{3}-1\right)=4 \cdot 7$ 分别。因此，这些数字是偶数和焘数的乘积。欧几里得首先试图找到一个完美数的

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Worked out Exercises

$$\sigma(n)=2^{11} \times\left(1-\frac{1}{2}\right) \times 24 \times 90 \quad=2^{10} \times 24 \times 90 \neq 2^{11} \times\left(2^{11}-1\right) \quad \neq 2 n .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。