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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Detectors and their risks
Let $\Omega$ be an observation space, and $\mathcal{P}{\chi}, \chi=1,2$, be two families of probability distributions on $\Omega$. By definition, a detector associated with $\Omega$ is a real-valued function $\phi(\omega)$ of $\Omega$. We associate with a detector $\phi$ and families $\mathcal{P}{\chi}, \chi=1,2$, risks defined as follows:
(a) $\operatorname{Risk}{-}\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}\right]=\sup {P \in \mathcal{P}{1}} \int_{\Omega} \exp {-\phi(\omega)} P(d \omega)$
(b) $\operatorname{Risk}{+}\left[\phi \mid \mathcal{P}{2}\right]=\sup {P \in \mathcal{P}{2}} \int_{\Omega} \exp {\phi(\omega)} P(d \omega)$
(c) $\operatorname{Risk}\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}, \mathcal{P}{2}\right]=\max \left[\operatorname{Risk}{-}\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}\right], \operatorname{Risk}{+}\left[\phi \mid \mathcal{P}{2}\right]\right]$
Given a detector $\phi$, we can associate with it a simple test $\mathcal{T}{\phi}$ deciding via observation $\omega \sim P$ on the hypotheses $$ H{1}: P \in \mathcal{P}{1}, H{2}: P \in \mathcal{P}{2} . $$ Namely, given observation $\omega \in \Omega$, the test $\mathcal{T}{\phi}$ accepts $H_{1}$ (and rejects $H_{2}$ ) whenever $\phi(\omega) \geq 0$, and accepts $H_{2}$ and rejects $H_{1}$ otherwise.
Let us make the following immediate observation:
Proposition 2.14. Let $\Omega$ be an observation space, $\mathcal{P}{\chi}, \chi=1,2$, be two families of probability distributions on $\Omega$, and $\phi$ be a detector. The risks of the test $\mathcal{T}{\phi}$ associated with this detector satisfy
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Risk}{1}\left(\mathcal{T}{\phi} \mid H_{1}, H_{2}\right) & \leq \text { Risk }{-}\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}\right] \
\operatorname{Risk}{2}\left(\mathcal{T}{\phi} \mid H_{1}, H_{2}\right) & \leq \operatorname{Risk}{+}\left[\phi \mid \mathcal{P}{2}\right]
\end{aligned}
$$
Proof. Let $\omega \sim P \in \mathcal{P}{1}$. Then the $P$-probability of the event ${\omega: \phi(\omega)<0}$ does not exceed Risk $\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}\right]$, since on the set ${\omega: \phi(\omega)<0}$ the integrand in (2.45.a) is $>1$, and this integrand is nonnegative everywhere, so that the integral in (2.45.a) is $\geq P{\omega: \phi(\omega)<0}$. Recalling what $\mathcal{T}{\phi}$ is, we see that the $P$-probability to reject $H{1}$ is at most Risk $_{-}\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}\right]$, implying the first relation in (2.47). By a similar argument, with (2.45.b) in the role of $(2.45 . a)$, when $\omega \sim P \in \mathcal{P}{2}$, the $P$-probability of the event ${\omega: \phi(\omega) \geq 0}$ is upper-bounded by Risk ${ }{+}\left[\phi \mid \mathcal{P}{2}\right]$, implying the second relation in (2.47).
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Detector-based tests
Observe that the fact that $\epsilon_{1}$ and $\epsilon_{2}$ are upper bounds on the risks of a detector are expressed by a system of convex constraints
$$
\begin{aligned}
&\sup {P \in \mathcal{P}{1}} \int_{\Omega} \exp {-\phi(\omega)} P(d \omega) \leq \epsilon_{1} \
&\sup {P \in \mathcal{P}{2}} \int_{\Omega} \exp {\phi(\omega)} P(d \omega) \leq \epsilon_{2}
\end{aligned}
$$
on $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ and $\phi(\cdot)$. This observation is interesting, but not very useful, since the convex constraints in question usually are infinite-dimensional when $\phi(\cdot)$ is so, and are semi-infinite (suprema – over parameters ranging in an infinite set – of parametric families of convex constraints) provided $\mathcal{P}{1}$ or $\mathcal{P}{2}$ are of infinite cardinalities; constraints of this type can be intractable computationally.
Another important observation is that the distributions $P$ enter the constraints linearly; as a result, when passing from families of probability distributions $\mathcal{P}{1}, \mathcal{P}{2}$ to their convex hulls, the risks of a detector remain intact.
2.3.2.2 Renormalization
Let $\Omega, \mathcal{P}{1}$, and $\mathcal{P}{2}$ be the same as in Section 2.3.1, and let $\phi$ be a detector. When shifting this detector by a real $a$-passing from $\phi$ to the detector
$$
\phi_{a}(\omega)=\phi(\omega)-a
$$
- the risks clearly update according to:
$$
\begin{aligned}
\text { Risk }{-}\left[\phi{a} \mid \mathcal{P}{1}\right] &=\mathrm{e}^{a} \text { Risk }{-}\left[\phi \mid \mathcal{P}{1}\right] \ \text { Risk }{+}\left[\phi_{a} \mid \mathcal{P}{2}\right] &=\mathrm{e}^{-a} \text { Risk }{+}\left[\phi \mid \mathcal{P}_{2}\right]
\end{aligned}
$$
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Detectors and their risks
让 $\Omega$ 是一个观察空间，并且 $\mathcal{P} \chi, \chi=1,2$, 是两个概率分布族 $\Omega$. 根据定义，检测器与 $\Omega$ 是一个实值函数 $\phi(\omega)$ 的
$\Omega$. 我们与检测器相关联 $\phi$ 和家人 $\mathcal{P} \chi, \chi=1,2$ ，风险定义如下:
(a) Risk $-[\phi \mid \mathcal{P} 1]=\sup P \in \mathcal{P} 1 \int_{\Omega} \exp -\phi(\omega) P(d \omega)$
(b) Risk $+[\phi \mid \mathcal{P} 2]=\sup P \in \mathcal{P} 2 \int_{\Omega} \exp \phi(\omega) P(d \omega)$
(C) $\operatorname{Risk}[\phi \mid \mathcal{P} 1, \mathcal{P} 2]=\max [\operatorname{Risk}-[\phi \mid \mathcal{P} 1]$, Risk $+[\phi \mid \mathcal{P} 2]]$
给定一个检测器 $\phi$ ，我们可以把它关联一个简单的测试 $\mathcal{T} \phi$ 观察快定 $\omega \sim P$ 关于假设
$$
H 1: P \in \mathcal{P} 1, H 2: P \in \mathcal{P} 2 \text {. }
$$
即，给定观察 $\omega \in \Omega$ ，考试 $\mathcal{T} \phi$ 接受 $H_{1}$ (并纳绝 $H_{2}$ ) 每当 $\phi(\omega) \geq 0$ ，并接受 $H_{2}$ 并拒绝 $H_{1}$ 否则。 让我们立即进行以下观察:
命题 2.14。让 $\Omega$ 成为观察空间， $\mathcal{P} \chi, \chi=1,2$, 是两个概率分布族 $\Omega$ ，和 $\phi$ 故一个探测器。测试的风险 $\mathcal{T} \phi$ 与此 检测器相关的满足
$\operatorname{Risk} 1\left(\mathcal{T} \phi \mid H_{1}, H_{2}\right) \leq \operatorname{Risk}-[\phi \mid \mathcal{P} 1]$ Risk $2\left(\mathcal{T} \phi \mid H_{1}, H_{2}\right) \quad \leq$ Risk $+[\phi \mid \mathcal{P} 2]$
证明。让 $\omega \sim P \in \mathcal{P}$ 1. 然后 $P$ – 事件的概率 $\omega: \phi(\omega)<0$ 不超过风险 $[\phi \mid \mathcal{P} 1]$, 因为在集合 $\omega: \phi(\omega)<0$ (2.45.a) 中的被积函数是 $>1$ ，并且这个被积函数处处是非负的，所以 (2.45.a) 中的积分是
$\geq P \omega: \phi(\omega)<0$. 回忆什么 $\mathcal{T} \phi$ 是，我们看到 $P$ – 拒绝概率 $H 1$ 最多是风险 $[\phi \mid \mathcal{P} 1]$ ，暗示 (2.47) 中的第 一个关系。通过类似的论点，具有 $(2.45 . b)$ 的作用(2.45. $a)$ ，什么时候 $\omega \sim P \in \mathcal{P} 2$ ，这 $P$ – 事件的概率 $\omega: \phi(\omega) \geq 0$ 以风险为上限 $+[\phi \mid \mathcal{P} 2]$ ，暗示 (2.47) 中的第二个关系。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Detector-based tests
观察到这样一个事实 $\epsilon_{1}$ 和 $\epsilon_{2}$ 是检测器风险的上限，由凸约束系统表示
$$
\sup P \in \mathcal{P} 1 \int_{\Omega} \exp -\phi(\omega) P(d \omega) \leq \epsilon_{1} \quad \sup P \in \mathcal{P} 2 \int_{\Omega} \exp \phi(\omega) P(d \omega) \leq \epsilon_{2}
$$
上 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 和 $\phi(\cdot)$. 这个观察很有趣，但不是很有用，因为所讨论的凸约東通常是无限维的 $\phi(\cdot)$ 是这样的，并且是 半无限的 (至上 $-一$ 在无限集内的参数范围内 $-一$ 凸约束的参数族) $\mathcal{P} 1$ 1或者 $\mathcal{P} 2$ 具有无限基数; 这种类型的约束 在计算上可能是难以处理的。
另一个重要的观察是分布 $P$ 线性输入约東; 因此，当从概率分布族传递时 $\mathcal{P} 1, \mathcal{P} 2$ 对于它们的凸包，探测器的风 险保持不变。
2.3.2.2 重整化
让 $\Omega, \mathcal{P} 1$ ，和 $\mathcal{P} 2$ 与第 $2.3 .1$ 节中的相同，并让 $\phi$ 故一个探测器。当这个检测损移动一个真实的 $a–从 \phi$ 到探测 器
$$
\phi_{a}(\omega)=\phi(\omega)-a
$$
- 风险根据以下情况明确更新:
$$
\text { Risk }-[\phi a \mid \mathcal{P} 1]=\mathrm{e}^{a} \text { Risk }-[\phi \mid \mathcal{P} 1] \text { Risk }+\left[\phi_{a} \mid \mathcal{P} 2\right] \quad=\mathrm{e}^{-a} \text { Risk }+\left[\phi \mid \mathcal{P}_{2}\right]
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。