Posted on Categories:abstract algebra, 抽象代数, 数学代写

# 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|MATH412 The Isomorphism Classes of Abelian Groups

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The Isomorphism Classes of Abelian Groups

The Fundamental Theorem is extremely powerful. As an application, we can use it as an algorithm for constructing all Abelian groups of any order. Let’s look at groups whose orders have the form $p^{k}$, where $p$ is prime and $k \leq 4$. In general, there is one group of order $p^{k}$ for each set of positive integers whose sum is $k$ (such a set is called a partition of $k$ ); that is, if $k$ can be written as
$$k=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t},$$
where each $n_{i}$ is a positive integer, then
$$Z_{p^{n_{1}}} \oplus Z_{p^{n_{2}}} \oplus \cdots \oplus Z_{p^{n_{t}}}$$
is an Abelian group of order $p^{k}$.
$$\begin{array}{lll} & \text { Possible direct } \ \text { Order of } G & \text { Partitions of } k & \text { products for } G \ p & 1 & Z_{p} \ p^{2} & 2 & Z_{p^{2}} \ & 1+1 & Z_{p} \oplus Z_{p} \ p^{3} & 3 & Z_{p^{3}} \ & 2+1 & Z_{p^{2}} \oplus Z_{p} \ p^{4} & 1+1+1 & Z_{p} \oplus Z_{p} \oplus Z_{p} \ & 4 & Z_{p^{4}} \ & 3+1 & Z_{p^{3}} \oplus Z_{p} \ & 2+2 & Z_{p^{2}} \oplus Z_{p^{2}} \ & 2+1+1 & Z_{p^{2}} \oplus Z_{p} \oplus Z_{p} \ & 1+1+1+1 & Z_{p} \oplus Z_{p} \oplus Z_{p} \oplus Z_{p} \end{array}$$

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Proof of the Fundamental Theorem

Because of the length and complexity of the proof of the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups, we will break it up into a series of lemmas.
Lemma 1
Let $G$ be a finite Abelian group of order $p^{n} m$, where $p$ is a prime that does not divide $m$. Then $G=H \times K$, where $H=\left{x \in G \mid x^{p^{n}}=e\right}$ and $K=\left{x \in G \mid x^{m}=e\right}$. Moreover, $|H|=p^{n}$
PROOF It is an easy exercise to prove that $H$ and $K$ are subgroups of $G$ (see Exercise 51 in Chapter 3). Because $G$ is Abelian, to prove that $G=$ $H \times K$ we need only prove that $G=H K$ and $H \cap K={e}$. Since we have $\operatorname{gcd}\left(m, p^{n}\right)=1$, there are integers $s$ and $t$ such that $1=s m+t p^{n}$. For any $x$ in $G$, we have $x=x^{1}=x^{s m+t p^{n}}=x^{s m} x^{t p^{n}}$ and, by Corollary 4 of Lagrange’s Theorem (Theorem 7.1), $x^{s m} \in H$ and $x^{t p^{n}} \in K$. Thus, $G=H K$. Now suppose that some $x \in H \cap K$. Then $x^{p^{n}}=e=x^{m}$ and, by Corollary 2 of Theorem 4.1, $|x|$ divides both $p^{n}$ and $m$. Since $p$ does not divide $m$, we have $|x|=1$ and, therefore, $x=e$.
To prove the second assertion of the lemma, note that $p^{n} m=|H K|=|H||K| /|H \cap K|=|H||K|$ (Theorem 7.2). It follows from Theorem $9.5$ and Corollary 2 to Theorem $4.1$ that $p$ does not divide $|K|$ and therefore $|H|=p^{n}$.

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|The Isomorphism Classes of Abelian Groups

$p^{k}$ ，在哪里 $p$ 是责数并且 $k \leq 4$ 一一般来说，有一组订单 $p^{k}$ 对于每组总和为的正整数 $k$ (这佯的集合称为 $k$ ); 也就是说，如果 $k$ 可以

$$k=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{t}$$

$$Z_{p^{n_{1}} \oplus} \oplus Z_{p^{n 2}} \oplus \cdots \oplus Z_{p^{n_{t}}}$$

$\begin{array}{clllllllllllll}\text { Possible direct Order of } G & \text { Partitions of } k & \text { products for } G p & 1 & Z_{p} p^{2} & 2 & Z_{p^{2}} & 1+1 & Z_{p} \oplus Z_{p} p^{3} & 3 & Z_{p^{3}} & 2+1 & Z_{p^{2}} \oplus Z_{p} p^{4} & 1-\end{array}$

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Proof of the Fundamental Theorem

\left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 和 left 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$.而且, $|H|=p^{n}$

$x=x^{1}=x^{s m+t p^{n}}=x^{s m} x^{t p^{n}}$ 并且，根倨拉格朗日定理 (定理 7.1) 的推论 $4 ， x^{s m} \in H$ 和 $x^{t p^{n}} \in K$. 因此， $G=H K$. 现在

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。