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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH391 Floating Point Operations

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Floating Point Operations

Definition
Let $f$ be a function defined in an open interval containing $x_{0}$. The function $f$ is differentiable at $x_{0}$ if
$$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim {x \rightarrow x{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$$
exists. The number $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ is called the derivative of $f$ at $x_{0}$. A function that has a derivative at each number in a set $X$ is differentiable on $X$.
Theorem
If the function $f$ is differentiable at $x_{0}$, then $f$ is continuous at $x_{0}$.

Finite-Digit Arithmetic

• Machine addition, subtraction, multiplication, and division:
\begin{aligned} &x \oplus y=f l(f l(x)+f l(y)), \quad x \otimes y=f l(f l(x) \times f l(y)) \ &x \ominus y=f l(f l(x)-f l(y)), \quad x \oslash y=f l(f l(x) / f l(y)) \end{aligned}
• “Round input, perform exact arithmetic, round the result”
Cancellation
• Common problem: Subtraction of nearly equal numbers:
\begin{aligned} &f l(x)=0 . d_{1} d_{2} \ldots d_{p} \alpha_{p+1} \alpha_{p+2} \ldots \alpha_{k} \times 10^{n} \ &f l(y)=0 . d_{1} d_{2} \ldots d_{p} \beta_{p+1} \beta_{p+2} \ldots \beta_{k} \times 10^{n} \end{aligned}
gives fewer digits of significance:
$$f l(f l(x)-f l(y))=0 \cdot \sigma_{p+1} \sigma_{p+2} \ldots \sigma_{k} \times 10^{n-p}$$

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Error Growth and Stability

Definition
Suppose $E_{0}>0$ is an initial error, and $E_{n}$ is the error after $n$ operations.

• $E_{n} \approx C n E_{0}$ : linear growth of error
• $E_{n} \approx C^{n} E_{0}$ : exponential growth of error
Stability
• Stable algorithm: Small changes in the initial data produce small changes in the final result
• Unstable or conditionally stable algorithm: Large errors in final result for all or some initial data with small errors

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Floating Point Operations

$$f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim x \rightarrow x 0 \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$$

$x \oplus y=f l(f l(x)+f l(y)), \quad x \otimes y=f l(f l(x) \times f l(y)) \quad x \ominus y=f l(f l(x)-f l(y)), \quad x \oslash y=f l(f l(x) / f l(y))$

“四舍五入，执行精确算术，四舍五入”

$$f l(x)=0 . d_{1} d_{2} \ldots d_{p} \alpha_{p+1} \alpha_{p+2} \ldots \alpha_{k} \times 10^{n} \quad f l(y)=0 . d_{1} d_{2} \ldots d_{p} \beta_{p+1} \beta_{p+2} \ldots \beta_{k} \times 10^{n}$$

$$f l(f l(x)-f l(y))=0 \cdot \sigma_{p+1} \sigma_{p+2} \ldots \sigma_{k} \times 10^{n-p}$$

数学代写数值分析代写Numerical analysis代考|Error Growth and Stability

$E_{n} \approx C n E_{0:}$ : 误差的线性增长

$E_{n} \approx C^{n} E_{0}$
: 误差稳定性指数增长

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。