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## 数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|Application to Engin

A number of important engineering problems, particularly in electrical engineering and control theory, can be analyzed by Laplace transforms. This approach converts an appropriate system of linear differential equations into a system of linear algebraic equations whose coefficients involve a parameter. The next example illustrates the type of algebraic system that may arise.

EXAMPLE 2 Consider the following system in which $s$ is an unspecified parameter. Determine the values of $s$ for which the system has a unique solution, and use Cramer’s rule to describe the solution.
$$\begin{array}{r} 3 s x_{1}-2 x_{2}=4 \ -6 x_{1}+s x_{2}=1 \end{array}$$
SOLUTION View the system as $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$. Then
$$A=\left[\begin{array}{cr} 3 s & -2 \ -6 & s \end{array}\right], \quad A_{1}(\mathbf{b})=\left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \ 1 & s \end{array}\right], \quad A_{2}(\mathbf{b})=\left[\begin{array}{cc} 3 s & 4 \ -6 & 1 \end{array}\right]$$
Since
$$\operatorname{det} A=3 s^{2}-12=3(s+2)(s-2)$$
the system has a unique solution precisely when $s \neq \pm 2$. For such an $s$, the solution is $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, where
\begin{aligned} &x_{1}=\frac{\operatorname{det} A_{1}(\mathbf{b})}{\operatorname{det} A}=\frac{4 s+2}{3(s+2)(s-2)} \ &x_{2}=\frac{\operatorname{det} A_{2}(\mathbf{b})}{\operatorname{det} A}=\frac{3 s+24}{3(s+2)(s-2)}=\frac{s+8}{(s+2)(s-2)} \end{aligned}

## 数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|A Formula for A–1

Cramer’s rule leads easily to a general formula for the inverse of an $n \times n$ matrix $A$. The $j$ th column of $A^{-1}$ is a vector $\mathbf{x}$ that satisfies
$$A \mathbf{x}=\mathbf{e}{j}$$ where $\mathbf{e}{j}$ is the $j$ th column of the identity matrix, and the $i$ th entry of $\mathbf{x}$ is the (i,j)-entry of $A^{-1}$. By Cramer’s rule,
$$\left{(i, j) \text {-entry of } A^{-1}\right}=x_{i}=\frac{\operatorname{det} A_{i}\left(\mathbf{e}{j}\right)}{\operatorname{det} A}$$ Recall that $A{j i}$ denotes the submatrix of $A$ formed by deleting row $j$ and column $i$. A cofactor expansion down column $i$ of $A_{i}\left(\mathbf{e}{j}\right)$ shows that $$\operatorname{det} A{i}\left(\mathbf{e}{j}\right)=(-1)^{i+j} \operatorname{det} A{j i}=C_{j i}$$
where $C_{j i}$ is a cofactor of $A$. By (2), the (i,j)-entry of $A^{-1}$ is the cofactor $C_{j i}$ divided by $\operatorname{det} A$. [Note that the subscripts on $C_{j i}$ are the reverse of $(i, j)$.] Thus
$$A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left[\begin{array}{rrrr} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n 1} \ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n 2} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ C_{1 n} & C_{2 n} & \cdots & C_{n n} \end{array}\right]$$
The matrix of cofactors on the right side of (4) is called the adjugate (or classical adjoint) of $A$, denoted by adj $A$. (The term adjoint also has another meaning in advanced texts on linear transformations.) The next theorem simply restates (4).

## 数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|Application to Engin

$$3 s x_{1}-2 x_{2}=4-6 x_{1}+s x_{2}=1$$

$$A=\left[\begin{array}{lll} 3 s & -2-6 & s \end{array}\right], \quad A_{1}(\mathbf{b})=\left[\begin{array}{lll} 4 & -21 & s \end{array}\right], \quad A_{2}(\mathbf{b})=\left[\begin{array}{lll} 3 s & 4-6 & 1 \end{array}\right]$$

$$\operatorname{det} A=3 s^{2}-12=3(s+2)(s-2)$$

$$x_{1}=\frac{\operatorname{det} A_{1}(\mathbf{b})}{\operatorname{det} A}=\frac{4 s+2}{3(s+2)(s-2)} \quad x_{2}=\frac{\operatorname{det} A_{2}(\mathbf{b})}{\operatorname{det} A}=\frac{3 s+24}{3(s+2)(s-2)}=\frac{s+8}{(s+2)(s-2)}$$

## 数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|A Formula for A-1

Cramer 的规则很容易得出一个反函数的一般公式 $n \times n$ 矩阵 $A$. 这 $j$ 第列 $A^{-1}$ 是一个向量 $\mathbf{x}$ 满足
$$A \mathbf{x}=\mathbf{e} j$$

、left 的分隔符缺失或无法识别

$$\operatorname{det} A i(\mathbf{e} j)=(-1)^{i+j} \operatorname{det} A j i=C_{j i}$$

（4）右侧的辅因子矩阵称为 $A$ ，用 $\operatorname{adj}$ 表示 $A$ （术语伴椭在线性变换的高级文本中也有另一个含义。) 下一个 定理简单地重述 (4)。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。