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线性代数Linear algebra也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。
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数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|Column Operations
We can perform operations on the columns of a matrix in a way that is analogous to the row operations we have considered. The next theorem shows that column operations have the same effects on determinants as row operations.
Remark: The Principle of Mathematical Induction says the following: Let $P(n)$ be a statement that is either true or false for each natural number $n$. Then $P(n)$ is true for all $n \geq 1$ provided that $P(1)$ is true, and for each natural number $k$, if $P(k)$ is true, then $P(k+1)$ is true. The Principle of Mathematical Induction is used to prove the next theorem.
If $A$ is an $n \times n$ matrix, then $\operatorname{det} A^{T}=\operatorname{det} A$.
PROOF The theorem is obvious for $n=1$. Suppose the theorem is true for $k \times k$ determinants and let $n=k+1$. Then the cofactor of $a_{1 j}$ in $A$ equals the cofactor of $a_{j 1}$ in $A^{T}$, because the cofactors involve $k \times k$ determinants. Hence the cofactor expansion of $\operatorname{det} A$ along the first row equals the cofactor expansion of $\operatorname{det} A^{T}$ down the first column. That is, $A$ and $A^{T}$ have equal determinants. The theorem is true for $n=1$, and the truth of the theorem for one value of $n$ implies its truth for the next value of $n$. By the Principle of Mathematical Induction, the theorem is true for all $n \geq 1$.
Because of Theorem 5, each statement in Theorem 3 is true when the word row is replaced everywhere by column. To verify this property, one merely applies the original Theorem 3 to $A^{T}$. A row operation on $A^{T}$ amounts to a column operation on $A$.
Column operations are useful for both theoretical purposes and hand computations. However, for simplicity we’ll perform only row operations in numerical calculations.
数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|Determinants and Matrix Products
The proof of the following useful theorem is at the end of the section. Applications are in the exercises.
Multiplicative Property
If $A$ and $B$ are $n \times n$ matrices, then $\operatorname{det} A B=(\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)$.
EXAMPLE 5 Verify Theorem 6 for $A=\left[\begin{array}{ll}6 & 1 \ 3 & 2\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{ll}4 & 3 \ 1 & 2\end{array}\right]$ SOLUTION
$$
A B=\left[\begin{array}{ll}
6 & 1 \
3 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \
1 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
25 & 20 \
14 & 13
\end{array}\right]
$$
and
$$
\operatorname{det} A B=25 \cdot 13-20 \cdot 14=325-280=45
$$
Since $\operatorname{det} A=9$ and $\operatorname{det} B=5$,
$$
(\operatorname{det} A)(\operatorname{det} B)=9 \cdot 5=45=\operatorname{det} A B
$$
Warning: A common misconception is that Theorem 6 has an analogue for sums of matrices. However, $\operatorname{det}(A+B)$ is not equal to $\operatorname{det} A+\operatorname{det} B$, in general.
线性代数代写
数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|Column Operations
我们可以以类似于我们考虑的行操作的方式对矩阵的列执行操作。下一个定理表明列操作对行列式的影响与行操作相同。
备注：数学归纳原理说：让磷(n)是对每个自然数为真或假的陈述n. 然后磷(n)对所有人都是正确的n≥1前提是磷(1)是真的，并且对于每个自然数ķ， 如果磷(ķ)是真的，那么磷(ķ+1)是真的。数学归纳原理用于证明下一个定理。
如果一个是一个n×n矩阵，那么这一个吨=这一个.
证明 该定理对于n=1. 假设定理对ķ×ķ行列式并让n=ķ+1. 那么辅因子一个1j在一个等于的辅因子一个j1在一个吨, 因为辅因子涉及ķ×ķ决定因素。因此，辅因子扩展为这一个沿着第一行等于辅因子扩展这一个吨在第一列。那是，一个和一个吨有相同的决定因素。该定理对n=1, 和定理的真值对于一个值n暗示它的下一个值的真实性n. 根据数学归纳原理，该定理对所有人都成立n≥1.
由于定理 5，当单词 row 在任何地方被 column 替换时，定理 3 中的每个陈述都是正确的。为了验证这一性质，只需将原始定理 3 应用于一个吨. 上的行操作一个吨相当于一个列操作一个.
列操作对于理论目的和手动计算都很有用。但是，为简单起见，我们将仅在数值计算中执行行操作。
数学代考|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|Determinants and Matrix Products
以下有用定理的证明在本节末尾。应用程序在练习中。
乘法性质
If一个和乙是n×n矩阵，然后这一个乙=(这一个)(这乙).
例 5 验证定理 6一个=[61 32]和乙=[43 12]解决方案
一个乙=[61 32][43 12]=[2520 1413]
和
这一个乙=25⋅13−20⋅14=325−280=45
自从这一个=9和这乙=5,
(这一个)(这乙)=9⋅5=45=这一个乙
警告：一个常见的误解是定理 6 具有矩阵和的类比。然而，这(一个+乙)不等于这一个+这乙， 一般来说。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。