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# 数学代写|交换代数代考Commutative Algebra代写|MATH6340 Derivations with values on a larger ring

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## 数学代写|交换代数代考Commutative Algebra代写|Derivations with values on a larger ring

So far, considering $k$-derivations of a $k$-algebra $A$ with values in some $R$-module or overing has been pretty much in the way of thinking of the latter as a dummy object with no true impact in the theory. The setup of the previous part is quite enticing in this regard, namely, when $A$ is a $k$-subalgebra of a polynomial ring $B=k[\mathbf{t}]=k\left[t_{1}, \ldots, t_{d}\right]$; after all, this is the classical case of algebras admitting a parametrization (or, in a fancier language, “unirational” algebras).

Thus, one considers the $k$-derivations $\operatorname{Der}{k}(A, B)$ of $A$ with values in $B$, which is still an $A$-module but in addition also a $B$-module. One is mainly interested in its structure as $B$-module. As in the previous part, one lets $A=k[\mathbf{g}]=k\left[g{1}(\mathbf{t}), \ldots, g_{n}(\mathbf{t})\right] \subset B$.
The main actor is again the Jacobian matrix $\Theta(\mathbf{g})$ with entries in $B$. Let $B \Theta(\mathbf{g}) \subset B^{n}$ denote the $B$ submodule generated by the columns of $\Theta(\mathbf{g})$.

## 数学代写|交换代数代考Commutative Algebra代写|Differential structures

For many purposes, there is nothing particular about $k$ being a field. One can go reasonably far by just assuming that $k$ is an arbitrary commutative ring and $R=$

$k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ is a polynomial ring with coefficients in $k$. Then $\operatorname{Der}_{k}(R)$ is still a free $R$-module with basis the partial derivatives.

Any finitely generated $k$-algebra can be expressed as a residue of $R$ by an ideal $I$ and the $R / I$-module of derivations $\operatorname{Der}{k}(R / I)$ is also an $R$-module in a natural way via the canonical map $R \rightarrow R / I$. Lemma 4.2.1. Let $\operatorname{Der}{I}(R):=\left{D \in \operatorname{Der}{k}(R) \mid D(f) \in I, \forall f \in I\right}$. Then: (1) $\operatorname{Der}{I}(R)$ is an $R$-submodule of $\operatorname{Der}{k}(R)$ containing the $R$-submodule $I \operatorname{Der}{k}(R)$.
(2) There is a natural isomorphism $\operatorname{Der}{I}(R) / I \operatorname{Der}{k}(R) \simeq \operatorname{Der}{k}(R / I)$ of $R / I$-modules. Proof. (1) This is clear from the definitions. (2) Any element $D \in \operatorname{Der}{I}(R)$ is in particular a map $D: R \rightarrow R$ such that $D(I) \subset I$. Therefore, it induces a map $\bar{D}: R / I \rightarrow R / I$ by setting $\bar{D}(\bar{f})=\overline{D(f)}$.
Claim 1. $\bar{D} \in \operatorname{Der}{k}(R / I)$. Clear from the definition of $\bar{D}$. $\operatorname{Der}{k}(R / I)$
Claim 3. The kernel of the homomorphism in Claim 2 is the submodule $I \operatorname{Der}{k}(R)$. $\bar{D}=\overline{0}$ means that $D(f) \in I$ for every $f \in R$. In particular, $D\left(x{i}\right) \in I$ for $1 \leq i \leq n$. Then $D=\sum_{i} D\left(x_{i}\right) \partial / \partial x_{i} \in I \operatorname{Der}{k}(R)$. The converse is obvious. Summing up, one has a natural injective $R / I$-module homomorphism $$\operatorname{Der}{I}(R) / I \operatorname{Der}{k}(R) \hookrightarrow \operatorname{Der}{k}(R / I)$$

## 数学代写|交换代数代考Commutative Algebra代写| Differential structures

$k\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]$ 是系数为 $k$. 然后 $\operatorname{Der}{k}(R)$ 还是免费 $R$-模块与偏导数的基础。 任何有限生成的 $k$-代数可以表示为 $R$ 凭理想 $I$ 和 $R / I$-派生模块 $\operatorname{Der} k(R / I)$ 也是一个 $R$-模抉以自然的方式通过规范地图 $R \rightarrow R / I$.引理 4.2.1.让缺少或无法识别〈left 的分隔符（然后: (1) $\operatorname{Der} I(R)$ 是一个 $R$-子模块 $\operatorname{Der} k(R)$ 包, 含 $R$-子模块 $I \operatorname{Der} k(R)$. （2）任何元责 $D \in \operatorname{Der} I(R)$ 特别是地图 $D: R \rightarrow R$ 使得 $D(I) \subset I$. 因此，它诱导了一个地图 $\bar{D}: R / I \rightarrow R /$ 通过设置 $\bar{D}(\bar{f})=\overline{D(f)}$ 索赔 $1 . \bar{D} \in \operatorname{Der} k(R / I)$. 从定义中明确 $\bar{D} \cdot \operatorname{Der} k(R / I)$ 留给读者。 索赔3.权利要求 2 中同态的核是子模块 $I \operatorname{Der} k(R) \cdot \bar{D}=\overline{0}$ 意味着 $D(f) \in I$ 对于每个 $f \in R$.特别 $D(x i) \in I$ 为 $1 \leq i \leq n$. 然 后 $D=\sum{i} D\left(x_{i}\right) \partial / \partial x_{i} \in I \operatorname{Der} k(R)$. 反之亦然。总结起来，一个人有天然的注射 $R / I$-模块同态
$\operatorname{Der} I(R) / I \operatorname{Der} k(R) \hookrightarrow \operatorname{Der} k(R / I)$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。