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数学物理方法Mathematical Methods就是用数学语言表达事物的状态、关系和过程,并对其进行推导、计算和分析,形成解释、判断和预测问题的方法。所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、方式和行为中所包含的可操作的规则或模式。通过长期的实践,人们发现了许多运用数学思想的手段、方法或程序。同一个方法、渠道或程序重复使用多次,都达到了预期目的,就成了数学方法。数学是以数学为工具的科学研究方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,通过推导、运算、分析形成解释、判断和预测的方法。

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数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|MATH0056 The Heine-Borel theorem

数学代写|数学物理方法代写Mathematical Methods代考|The Heine-Borel theorem

1.0621. The Heine-Borel theorem. If every point of a closed interval $(a, b)$ is within some interval I of a family $F$, then there is a finite subfamily of $F$ such that every point of $(a, b)$ is within at least one interval of the subfamily. We say that $I$ covers $(c, d)$ if every point of $(c, d)$ is an interior point of $I$ (i.e. not an end-point).

There may be an interval $I$ belonging to $F$ that covers the whole of $(a, b)$. If so there is nothing to prove. If not, bisect $(a, b)$. There may be a pair of intervals $I_{1}, I_{2}$ such that every point of $\left(a, \frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b\right)$ is interior to $I_{1}$ and every point of $\left(\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b, b\right)$ to $I_{2}$. If either half is not included in an interval $I$, bisect that half. We say that in a finite number of steps we shall arrive at a stage where every portion of $(a, b)$ lies within at least one interval $I$. For if not, the successive bisection of intervals will give a sequence of intervals, each part of the preceding one, and each half the length of the preceding one, and none of them included in an $I$. Such a sequence forms a nest of intervals and identifies a number $x_{0}$ common to all its members. But by hypothesis $x_{0}$ is interior to an $I$, say $I_{0}$, and hence there is a positive $\delta$ such that all points of $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ are in $I_{0}$. Therefore all intervals of the nest whose lengths are less than $\delta$ are included in $I_{0}$, and we have a contradiction. Hence every division of $(a, b)$ is wholly interior to some $I$. Taking for each division an $I$ that includes it we have the theorem.

A slight modification is often made where an end-point, say $a$, is an end-point of an interval of the family, say $I_{a}$, closed at $a ; I_{a}$ is still supposed of non-zero length $\delta_{a}$. Then $a$ is interior to the interval $J_{a}\left(a-\frac{1}{2} \delta_{a}, a+\frac{1}{2} \delta_{a}\right)$, and the argument applies to the set of intervals $J$, where $J$ is the same as $I$ except that $I_{a}$ is replaced by $J_{a}$; every point of $(a, b)$ is an interior point of at least one $J$. But then the theorem follows with the modification that $a$ may be an end-point of $I_{a}$ or $b$ of $I_{b}$ provided that $I_{a}$ has $a$ as a member and $I_{b}$ has $b$.

The theorem gives the Bolzano-Weierstrass theorem (1-034) as a special case. If possible, let $(a, b)$ contain no limit-point of the set. Then every point of $(a, b)$ is in an interval $I$ containing not more than one member of the set. Hence $(a, b)$ can be covered by a finite set of such intervals $I$ and therefore contains only a finite number of members of the set of points considered, contrary to hypothesis.

In the argument as we have stated it the only intervals bisected at each stage are those not already covered by an $I$. We could, however, equally well bisect all the intervals. For if $I$ covers $(c, d)$ it covers both halves of it. Hence $(a, b)$ in the conditions stated can be divided into a finite set of equal intervals each covered by an $I$.

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1.0622. The modified Heine-Borel theorem. In the Heine-Borel theorem the intervals $I$ may be specified by any rule so long as each is of non-zero length and every point of $(a, b)$ is an interior point of at least one of them (except that $a$ and $b$ may be end-points). Sometimes, however, a further restriction is made, according to which each point $x$ of $(a, b)$ specifies an $I_{x}$, of which $x$ is an interior point. Then the following theorem holds. Suppose that every point $x$ of $a \leqslant x \leqslant b$ is within an interval $I_{x}\left(x-\delta_{x}, x+\eta_{x}\right)$, where $\delta_{x}>0$, $\eta_{x}>0$, except that $I_{a}$ may be $a \leqslant x<a+\eta_{a}$ and $I_{b}$ may be $b-\delta_{b}<x \leqslant b$; then $(a, b)$ may be divided into a finite set of intervals such that each interval is part of the $I_{x}$ defined for some point of that interval. The proof is by successive bisection as before. Assuming the theorem false, we establish the existence of a nest of intervals converging to some $x_{0}$, such that none is part of $I_{x}$ for any $x$ within that interval; but all of them less than a certain length are parts of $I_{x_{0}}$, and contain $x_{0}$, and we have a contradiction. In this case, however, it does not follow that $(a, b)$ can be divided into equal intervals with the required property. If $(c, d)$ is covered by $I_{x}$, where $x$ is in $(c, d), x$ can be interior to only one half of $(c, d)$; then the other half is not necessarily covered by an $I_{v}$, when $y$ is now restricted to be in that half.

An important application is to differentiable functions. Let $f(x)$ be differentiable at all points of $a \leqslant x \leqslant b$; this says that for any $\omega$, for any $x$ in $(a, b)$, there is a positive $\delta(\omega, x)$ such that for $|h|<\delta \quad\left|f(x+h)-f(x)-h f^{\prime}(x)\right|<\omega|h|$ (1)
Then $(a, b)$ can be divided into a finite set of intervals $\left(x_{r}, x_{r+1}\right)$ such that for all $x$ of $\left(x_{r}, x_{r+1}\right)$
\left|f(x)-f\left(\xi_{r}\right)-\left(x-\xi_{r}\right) f^{\prime}\left(\xi_{r}\right)\right|<\omega\left|x-\xi_{r}\right| \text {, }
$\xi_{r}$ itself being a point of $\left(x_{r}, x_{r+1}\right)$.
For any fixed $\eta$ (1) remains true if all $\delta(\omega, x)$ are restricted to be $\leqslant \eta$. Then all $x_{r+1}-x_{r}$ will be $\leqslant 2 \eta$.

Heine* proved that a continuous function is uniformly continuous (1.071) by what was essentially a method of Dedekind section, capable of being used to prove the general Heine-Borel theorem and so used in Lebesgue’s proof. The specific use of overlapping intervals is due to Borel $\dagger$, the form of the Heine-Borel theorem given here to W.H.Young.f The bisection method was used by Bolzano; Goursat (see 11.043) used it in an important simplification of the conditions for Cauchy’s theorem, in which he recognized the effect of the restriction when each section is required to contain a point $x$ with which the $I_{x}$ covering that section is associated. He did not, however, give the general form of the modified theorem or comment on the possibility of proving the main theorem by the same method. This was first done by H. F. Baker in a note reported in title only. $\S$

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1.0621. 海涅-博雷尔定理如果闭合区间的每个点 $(a, b)$ 在一个家庭的某个间隔内 $\mid F$ ,则有一个有限的亚科 $F$ 使得每个点 $(a, b)$ 至少 在亚科的一个区间内。我们说 $I$ 涵盖 $(c, d)$ 如果每个点 $(c, d)$ 是内部点 $I$ (即不是终点) 。
可能有一个间隔 $I$ 属于 $F$ 覆盖整个 $(a, b)$. 如果是这样,就设有什么可以证明的。如果没有,则一分为二 $(a, b)$. 可能有一对间隔 $I_{1}, I_{2}$ 使得每个点 $\left(a, \frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b\right)$ 是内部到 $I_{1}$ 和每个点 $\left(\frac{1}{2} a+\frac{1}{2} b, b\right)$ 自 $I_{2}$.如果区间中末包含任何一半 $I$ ,将那一半一分为二。我 们说,在有限数量的步骤中,我们将达到一个阶段,即每个部分 $(a, b)$ 位于至少一个区间内 $I$. 因为如果不是,间隔的连续分化将給 出一㒶列间隔,前一个部分的每个部分,以及前一个部分长度的一半,并且它们都不包含在 $I$ 这样的序列形成一个间隔茨套并标识 一个数字 $x_{0}$ 其所有成员共同。但通过假设 $x_{0}$ 是内部到 $I$ 说 $I_{0}$ ,因此有一个积极的 $\delta$ 使得所有点 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 都在 $I_{0}$. 因此,长 度小于的㷄的所有间隔 $\delta$ 包含在 $I_{0}$ ,我们有一个矛盾。因此,每个划分 $(a, b)$ 完全是内部㿟一些 $I$ 每个部门取一个 $I$ 包括它,我们有 定理。
通常在端点处进行轻微佟修改,例如 $a$ ,是族的一个区间的终点,比如说 $I_{a}$ ,关闭于 $a ; I_{a}$ 仍然假定长度为非零 $\delta_{a}$. 然后 $a$ 是区间内 定理随之而来的是以下修改: $a$ 可能是 $I_{a}$ 或 $b$ 之 $I_{b}$ 前提是 $I_{a}$ 有 $a$ 作为会员和 $I_{b}$ 有 $b$.
该定理哈出了博尔诺-魏尔斯特拉斯定理 (1-034) 作为特例。如果可能的话,让 $(a, b)$ 不包含集合的极限点。那么每一点 $(a, b)$ 处于某个区间内 $I$ 包含集合中不超过一个成员。因此 $(a, b)$ 可以被一组有限的这样的区间賈盖 $I$ 因此,与假设相反,它只包含所考虑 的点集的有限数量的成员。
在我们所兑的论证中,每个阶段被一分为二的唯一间隔是那些尚末被I.然而,我们可以同样好地将所有间隔一分为二。对于如果 $I$ 涵盖 $(c, d)$ 它涵盖了它的两半。因此 $(a, b)$ 在所述条件下可以分为一组有限的相等区间,每个区间由 $I$.

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1.0622. 修正的海涅-博雷尔定理.在海涅-博雷尔定理中,区间 $I$ 可以由任何规则指定,只要每个规则的长度都为非零,并且每个点 $(a, b)$ 是其中至少一个的内部点 (除了 $a$ 和 $b$ 可能是端点) 。但是,有时还会进行进一步的限制,根据该限制,每个点 $x$ 之 $(a, b)$ 指 定 $I_{x}$ ,其中 $x$ 是一个内部点。那么下面的定理成立。假设每个点 $x$ 之 $a \leqslant x \leqslant b$ 在某个时间间隔内 $I_{x}\left(x-\delta_{x}, x+\eta_{x}\right)$ 哪里 $\delta_{x}>0, \eta_{x}>0$ ,除了 $I_{a}$ 可能 $a \leqslant x<a+\eta_{a}$ 和 $I_{b}$ 可能 $b-\delta_{b}<x \leqslant b$;然后 $(a, b)$ 可以划分为一组有限的区间,使得每个区 间都是 $I_{x}$ 为该间隔的某个点定义。证明是像以前一样通过连续的对等分。假设定理为假,我们确定存在一个收敀于某个区间的緖 穴 $x_{0}$ ,使得没有一个是 $I_{x}$ 对于任何 $x$ 在该间隔内; 但所有小于一定长度的都是 $I_{x_{0} } \text { ,并包含 } x_{0} \text { ,我们有一个矛盾。但是,在这种情 }$ 况下,这并不意味着 $(a, b)$ 可以使用所需属性划分为相等的间隔。如果 $(c, d)$ 涵盖 $I_{x}$ 哪里 $x$ 位于 $(c, d), x$ 可以内部只有一半 $(c, d)$ ; 那么另一半不一定被 $I_{v}$ 什么时候 $y$ 现在被限制在那一半。
一个重要的应用是可微函数。让 $f(x)$ 在以下的所有点上都是可微分的 $a \leqslant x \leqslant b$; 这说明对于任何 $\omega$ ,适用于任何 $x$ 在 $(a, b)$ ,有 一个正面 $\delta(\omega, x)$ 使得 $|h|<\delta \quad\left|f(x+h)-f(x)-h f^{\prime}(x)\right|<\omega|h|(1)$
然后 $(a, b)$ 可以分为一组有限的区间 $\left(x_{r}, x_{r+1}\right)$ 这样,对于所有 $x$ 之 $\left(x_{r}, x_{r+1}\right)$
\left|f(x)-f\left(\xi_{r}\right)-\left(x-\xi_{r}\right) f^{\prime}\left(\xi_{r}\right)\right|<\omega\left|x-\xi_{r}\right|,
$\xi_{r}$ 本身就是一个点 $\left(x_{r}, x_{r+1}\right)$.
对于任何固定 $\eta(1)$ 如果所有 $\delta(\omega, x)$ 被限制为 $\leqslant \eta$.然后全部 $x_{r+1}-x_{r}$ 将是 $\leqslant 2 \eta$.
Heine* 通过本质上是戴德金截面的方法证明了连续函数是均匀连续的(1.071),能够用于证明一般的 Heine-Borel 定理,因此 在勒贝格的证明中也使用了这种函数。重殞间隔的具体使用是由于Borel†,这里给出给W.H.Young.f的Heine-Borel定理的形式, Bolzano使用了对等分法;Goursat (见11.043) 在柯西定理条件的重要简化中使用它,其中他认识到当每个部分都需要包含一个 点时,限制的效果。 $x$ 与哪个 $I_{x}$ 覆盖该部分是关联的。然而,他没有给出修改定理的一般形式,也没有评论用同样的方法证明主要 定理的可能性。这是H. F. Baker首先在标题中报道的注释中完成的。

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。


微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。





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