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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH3163 Field Extensions

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Field Extensions

• Definition 6.9.
A field $F$ is called an extension of a field $K$, provided that $K$ is a subfield of $F$. In this case, we write $K \leq F$. If $F \neq K$, then $F$ is called a proper extension of $K$, otherwise $F$ is called a non-proper extension of $K$.

In particular, each field is an extension of a simple field which contains as a subfield. So, each field can be considered as an extension of either $\mathbb{Q}$ or $\mathbb{Z}$.

• Theorem 6.10.
Each homomorphism of fields $f: K \rightarrow F$ is a monomorphism.
Proof.
By Theorem 4.29, a field does not contain non-trivial ideals, so $\operatorname{Ker}(f)=$ ${0}$, i.e., $f$ is a monomorphism.

If $F$ is an extension of a field $K$, then $F$ is an Abelian group under addition and each element $x \in F$ can be multiplied by an element $\lambda \in K$. In this way, all axioms of a vector space hold. Therefore, we have the following theorem:

If $F$ is an extension of a field $K$, then $F$ is a vector space over $K$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Algebraic Elements. Algebraic Extensions

• Definition $6.18$.
Let a field $F$ be an extension of a field $K$. An element $\alpha \in F$ is called algebraic over a field $K$ if there is a non-zero polynomial $p(x) \in K[x]$ such that $p(\alpha)=0$. Otherwise, $\alpha$ is called transcendental over $K$.

In a particular case, when $K=\mathbb{Q}$ is the field of rational numbers and $F=$ $\mathbb{C}$ is the field of complex numbers, algebraic elements of $\mathbb{C}$ over $\mathbb{Q}$ are called algebraic numbers and transcendental elements are called transcendental numbers.

The existence of some transcendental numbers and their construction were discovered in 1844 by J. Liouville. G. Cantor in 1872 showed that the set of all algebraic numbers is enumerable, hence, the existence of transcendental numbers and their infiniteness immediately follow.

• Examples 6.19.
1. The numbers $5, \sqrt[5]{7}$ and $i$, where $i^{2}=-1$, are algebraic over $\mathbb{Q}$ since they are, respectively, the roots of polynomials:
$$x-5, x^{5}-7, x^{2}+1 .$$
2. A rational number $p / q$ is algebraic over $\mathbb{Q}$ since it is a root of the polynomial $q x-p \in \mathbb{Q}[x]$
3. The Gauss numbers $a+b i$, where $a, b \in \mathbb{Q}$, are algebraic over $\mathbb{Q}$.
4. The number $\pi$ is not algebraic over $\mathbb{Q}$, it is transcendental over $\mathbb{Q}$, that was proved for the first time by F. Lindemann in 1882 .
5. Ch. Hertmite proved for the first time in 1873 that Euler’s number $e$ is transcendental over $\mathbb{Q}$.

# 现代代数代写

## 数学代写现代代数代考Modern Algebra代写| Algebraic Elements. Algebraic Extensions

1. 数字 $5, \sqrt[5]{7}$ 和 $i$ 郘里 $i^{2}=-1$ ，是代数的 $\mathbb{Q}$ 因为它们分别是多项式的根:
$$x-5, x^{5}-7, x^{2}+1 .$$
2. 有理数 $p / q$ 是代数的 $\mathbb{Q}$ 因为它是多项式的根 $q x-p \in \mathbb{Q}[x]$
3. 高斯数 $a+b i$ 哪里 $a, b \in \mathbb{Q}$ ，是代数的 $\mathbb{Q}$.
4. 数字 $\pi$ 不是代数的 $\mathbb{Q}$ ，它是超然的QF.林德曼在 1882 年首次证明了这一点。
5. 赫特米特在1873年首次证明了欧拉数 $e$ 是超然的 $\mathbb{Q}$.

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