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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH512 Solving Systems of Linear Congruences

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Solving Systems of Linear Congruences

Let $K$ be a field. Consider a system of linear equations:
$$\mathbf{A x}=\mathbf{y}$$
where $\mathbf{A} \in M_{n}(K), \mathbf{x}, \mathbf{y} \in K^{n}$.
Let $D=\operatorname{det}(\mathbf{A})$ be a determinant of the matrix $\mathbf{A}$. From linear algebra, it is well known that, if $D \neq 0$, then the matrix $\mathbf{A}$ is invertible and the system (7.21) has exactly one solution.

In particular, if $p$ is a prime number and $K=\mathbb{Z}{p}$, then the system (7.21) is equivalent to the system of linear congruences: $$\mathbf{A} \mathbf{x} \equiv \mathbf{y}(\bmod p)$$ where $\mathbf{A} \in M{n}\left(\mathbb{Z}{p}\right), \mathbf{x}, \mathbf{y} \in\left(\mathbb{Z}{p}\right)^{n}$.
In this case, the system (7.21) has one solution if $\operatorname{gcd}(D, p)=1$, where $D=\operatorname{det} \mathbf{A}$.

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Algorithm of solving systems of linear congruences

1. Compute $m=m_{1} m_{2} \cdots m_{n}$.
2. Verify that $\operatorname{gcd}\left(m_{i}, m_{j}\right)=1$ for all $i, j$ with $i \neq j$.
3. Compute $M_{i}=m / m_{i}$, for all $i$
4. Compute $N_{i}=\left(M_{i}\right)^{-1}\left(\bmod m_{i}\right)$, for all $i$.
5. Compute $a_{i} M_{i} N_{i}$, for all $i$.
6. Compute $b=\sum_{i=1}^{n} a_{i} M_{i} N_{i}$.
• Example 7.23.
Solve the system of congruences:
$$\left{\begin{array}{l} x \equiv 36(\bmod 41) \ x \equiv 5(\bmod 17) \end{array}\right.$$
Here, $m_{1}=41, m_{2}=17, m=41 \cdot 17=697$.
Since $\operatorname{gcd}(41,17)=1$, we can use Theorem 7.22.
For $i=1,2$, we compute:
$$M_{1}=m / m_{1}=17, N_{1}=(17)^{-1} \equiv 29(\bmod 41)$$
$$M_{2}=m / m_{2}=41, N_{2}=(41)^{-1} \equiv 5(\bmod 17)$$
Therefore, by (7.23), (7.24), we obtain that
$$x \equiv 36 \cdot 17 \cdot 29+5 \cdot 41 \cdot 5 \equiv 17748 \equiv 651(\bmod 697)$$
is the solution of the given system of congruences.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写| Solving Systems of Linear Congruences

$$\mathbf{A x}=\mathbf{y}$$

$$\mathbf{A x} \equiv \mathbf{y}(\bmod p)$$

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写| Algorithm of solving systems of linear congruences

1. 计算 $m=m_{1} m_{2} \cdots m_{n}$.
2. 验证 $\operatorname{gcd}\left(m_{i}, m_{j}\right)=1$ 面向所有人 $i, j$ 跟 $i \neq j$.
3. 计算 $M_{i}=m / m_{i}$ ，面向所有人 $i$
4. 计算 $N_{i}=\left(M_{i}\right)^{-1}\left(\bmod m_{i}\right)$ ，面向所有人 $i$.
5. 计算 $a_{i} M_{i} N_{i}$ ，面向所有人 $i$.
6. 计算 $b=\sum_{i=1}^{n} a_{i} M_{i} N_{i}$.
• 例 $7.23 .$
求解同余系统:
\$\$
\left } {
$$x \equiv 36(\bmod 41) x \equiv 5(\bmod 17)$$
|右。
Here, $\$ m_{1}=41, m_{2}=17, m=41 \cdot 17=697 \$$Since \ \operatorname{gcd}(41,17)=1 \$$, wecanuseTheorem $7.22 .$ For $\$ i=1,2 \$$, wecompute : M_{-}{1}=m / m_{-}{1}=17, N_{-}{1}=(17) \wedge{-1} lequiv 29(\backslash bmod 41) M_{-}{2}=m / m_{-}{2}=41, N_{-}{2}=(41) \wedge{-1} \backslash lequiv 5(\backslash bmod 17) Therefore, by (7.23),(7.24), weobtainthat x |equiv 36 |cdot 17 \mid c cdot 29+5 \mid c cot 41 \backslash cdot 5 |equiv 17748 \equiv 651 (\bmod 697) \ \$$
是给定同余系统的解。

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