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# 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH612 Lagrange’s Interpolation Polynomials

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## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Lagrange’s Interpolation Polynomials

In this section, we consider the problem of constructing a special polynomial that passes through a given set of data points.
Consider the following problem:
Let $K$ be a field. Given a set of $n$ elements $\left{\left(x_{i}, y_{i}\right)\right}_{i=0}^{n}$ in $K^{2}$ with distinct $x$-coordinates, i.e., $x_{i} \neq x_{j}$ for all $i, j$ with $i \neq j$, find a polynomial $f_{n}(x) \in K[x]$ of degree at most $n$ such that $f_{n}\left(x_{i}\right)=y_{i}$ for all $i=0,1,2, \ldots, n$.
The method of solving this problem is called polynomial interpolation, the elements $x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n} \in K$ are called interpolation points and the polynomial $f_{n}(x) \in K[x]$ is called the interpolation polynomial. This method is based on the following theorem.
Proof.
Consider a polynomial $f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n} \in K[x]$. Since $f\left(u_{i}\right)=y_{i}$ for $i=0,1, \ldots, n$, in order to find the coefficients $a_{i}$, we obtain the following system of linear equations:
$$\left{\begin{array}{l} y_{0}=a_{0}+a_{1} u_{0}+a_{2} u_{0}^{2}+\cdots+a_{n} u_{0}^{n} \ y_{1}=a_{0}+a_{1} u_{1}+a_{2} u_{1}^{2}+\cdots+a_{n} u_{1}^{n} \ \hdashline y_{n}=a_{0}+a_{1} u_{n}+a_{2} u_{n}^{2}+\cdots+a_{n} u_{n}^{n} \end{array}\right.$$
or in the matrix form:
$$\left(\begin{array}{c} y_{0} \ y_{1} \ \vdots \ y_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & u_{0} & u_{0}^{2} & \cdots & u_{0}^{n} \ 1 & u_{1} & u_{1}^{2} & \cdots & u_{1}^{n} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 1 & u_{n} & u_{n}^{2} & \cdots & u_{n}^{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0} \ a_{1} \ \vdots \ a_{n} \end{array}\right)$$

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Secret Sharing

In this section, we consider the well known problem of secret sharing, which consists of recovering a secret $S$ from a set of shares. At the beginning, we consider the simplest variant of this problem.
Problem:

1. Adam wants to send to Alice and Bob a message $M \in \mathbb{Z}_{m}$.
2. Adam want to be sure that only Alice and Bob together can read this message if they both agree to do this.

An easy way to solve this problem leads to the following simple algorithm:
Secret Sharing Scheme

1. Adam divides the message $M$ into two parts. For this aim, he chooses randomly a number $r \in \mathbb{Z}_{m}$.
2. Alice receives from Adam the number $r$.
3. Bob receives from Adam the number $(M-r)(\bmod m)$.

# 现代代数代写

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写| Solving Systems of Linear Congruences

$$\mathbf{A x}=\mathbf{y}$$

$$\mathbf{A x} \equiv \mathbf{y}(\bmod p)$$

## 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写| Algorithm of solving systems of linear congruences

1. 计算 $m=m_{1} m_{2} \cdots m_{n}$.
2. 验证 $\operatorname{gcd}\left(m_{i}, m_{j}\right)=1$ 面向所有人 $i, j$ 跟 $i \neq j$.
3. 计算 $M_{i}=m / m_{i}$ ，面向所有人 $i$
4. 计算 $N_{i}=\left(M_{i}\right)^{-1}\left(\bmod m_{i}\right)$ ，面向所有人 $i$.
5. 计算 $a_{i} M_{i} N_{i}$ ，面向所有人 $i$.
6. 计算 $b=\sum_{i=1}^{n} a_{i} M_{i} N_{i}$.
• 例 $7.23 .$
求解同余系统:
\$\$
\left } {
$$x \equiv 36(\bmod 41) x \equiv 5(\bmod 17)$$
|右。
Here, $\$ m_{1}=41, m_{2}=17, m=41 \cdot 17=697 \$$Since \ \operatorname{gcd}(41,17)=1 \$$, wecanuseTheorem $7.22 .$ For $\$ i=1,2 \$$, wecompute : M_{-}{1}=m / m_{-}{1}=17, N_{-}{1}=(17) \wedge{-1} lequiv 29(\backslash bmod 41) M_{-}{2}=m / m_{-}{2}=41, N_{-}{2}=(41) \wedge{-1} \backslash lequiv 5(\backslash bmod 17) Therefore, by (7.23),(7.24), weobtainthat x |equiv 36 |cdot 17 \mid c cdot 29+5 \mid c cot 41 \backslash cdot 5 |equiv 17748 \equiv 651 (\bmod 697) \ \$$
是给定同余系统的解。

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。