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# 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|CSE5656 Spectra of adjacency matrices

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## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Spectra of adjacency matrices

First we discuss the spectra of adjacency matrices of undirected graphs,
$$A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$
Clearly, if there are no self-loops,
${ }^{27}$ Menger’s theorem is a particular case of the famous max-flow min-cut theorem which can be formulated for undirected and directed graphs. L. R. Ford Jr. and D. R. Fulkerson proved this theorem in 1954-1955. For the flow from a source vertex $s$ to a sink vertex $t$ in a weighted directed graph, the theorem states that the maximum flow is equal to the minimum capacity over all edge cuts for vertices $s$ and $t$. It is assumed here that a flow through an edge cannot exceed the edge weight, and, by definition, the capacity of an edge cut is the sum of the weights in the cut. The Ford-Fulkerson algorithm, based on this theorem, allows to find the maximum flow between two vertices.

\begin{aligned} &\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}=0, \ &\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{2}=2 E, \ &\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{3}=6 N_{3}, \end{aligned}
where $N_{3}$ is the number of triangles in the graph. The eigenvalues are the roots of the characteristic polynomial of a graph
$$p_{A}(\lambda) \equiv \operatorname{det}(\lambda I-A)=\lambda^{N}+a_{1} \lambda^{N-1}+a_{2} \lambda^{N-2}+\ldots+a_{N-1} \lambda+a_{N},$$
whose first three coefficients are
\begin{aligned} &a_{1}=0, \ &a_{2}=-E, \ &a_{3}=-2 N_{3} . \end{aligned}

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Spectra of Laplacian matrices

Section $2.3$ introduced the Laplacian matrix of a graph, $L \equiv D-A$, where $D$ is the degree matrix of this graph. Clearly, at least one of its eigenvalues equals $0, \lambda_{1}=0$, and the corresponding eigenvector has all entries equal, that is $\mathbf{v}{1}=\mathbf{1}$ if we do not normalize it; all eigenvalues are non-negative, $\lambda{\alpha} \geq 0$,
\begin{aligned} \operatorname{Tr} L &=\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}=\sum_{i} q_{i}=2 E, \ \operatorname{Tr} L^{2} &=\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{2}=\sum_{i} q_{i}^{2}+\sum_{i} q_{i} . \end{aligned}
When a graph is regular, the spectrum of $L$ is readily obtained from the spectrum of $A \cdot{ }^{35}$ Returning to our examples, for the fully connected graph of $N$ vertices (Figure $2.15 \mathrm{a}$ ), we have
\begin{aligned} \lambda_{1} &=0, \quad \lambda_{2 \leq \alpha \leq N}=N \ \mathbf{v}{1} &=(1,1, \ldots, 1)^{T} \ \mathbf{v}{\alpha} &=(1,0,0, \ldots,-1,0, \ldots)^{T} \end{aligned}

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Spectra of adjacency matrices

$$A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

${ }^{27}$ 门格尔定理是茩名的最大流最小割定理的一个特例，可以为无向图和有向图制定。LR Ford Jr. 和 DR Fulkerson 在 1954-1955

. 这里假设通过边的流不能超过边权重，并且根据定义，边切割的容量是切割中权重的总和。Ford-Fulkerson 算法，基于这个定

$$\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}=0, \quad \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{2}=2 E, \sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{3}=6 N_{3}$$

$$p_{A}(\lambda) \equiv \operatorname{det}(\lambda I-A)=\lambda^{N}+a_{1} \lambda^{N-1}+a_{2} \lambda^{N-2}+\ldots+a_{N-1} \lambda+a_{N},$$

$$a_{1}=0, \quad a_{2}=-E, a_{3}=-2 N_{3}$$

## 数据科学代写|复杂网络代写Complex Network代考|Spectra of Laplacian matrices

$$\operatorname{Tr} L=\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}=\sum_{i} q_{i}=2 E, \operatorname{Tr} L^{2} \quad=\sum_{\alpha} \lambda_{\alpha}^{2}=\sum_{i} q_{i}^{2}+\sum_{i} q_{i} .$$

$$\lambda_{1}=0, \quad \lambda_{2 \leq \alpha \leq N}=N \mathbf{v} 1 \quad=(1,1, \ldots, 1)^{T} \mathbf{v} \alpha=(1,0,0, \ldots,-1,0, \ldots)^{T}$$

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