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# 金融代写|国际贸易理论代写Theory of International Trade代考|ECON3HH3 GDP maximization

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## 金融代写|国际贸易理论代写Theory of International Trade代考|GDP maximization

Expenditure minimization: Looking at the behavior of a household from a different angle, let us consider the following problem in which the household minimizes the expenditure on the purchase of a consumption vector that guarantees a specified utility level: given $p$ and $u$,

GDP maximization: Given a price vector $p$ and a production vector $y$, we can calculate the value of the total production $p y \equiv \sum_{j=1}^n p_j y_j$, which is nothing but the Gross Domestic Product (GDP) of the country. Let us consider the GDP maximization problem under the resource constraint:
$$\max _y p y \text { subject to } y \in \mathscr{Y}(\bar{v}) \text {. }$$
We can show that the production point $\tilde{y}(p, \bar{v})$ of the production equilibrium for $p$ coincides with the solution to the GDP maximization problem. It suffices to show that the production equilibrium satisfies the conditions for the GDP maximization.

Taking account of the definition of $\mathscr{Y}(\bar{v})$, let us define the Lagrangian function for (1.15):
$$\mathscr{L} \equiv \sum_{j=1}^n p_j y_j+\sum_{j=1}^n \mu_j\left{F_j\left(v_{\bullet j}\right)-y_j\right}+\sum_{i=1}^m \xi_i\left{\bar{v}i-\sum{j=1}^n v_{i j}\right},$$
where $\mu_j(j=1,2, \ldots, n)$ and $\xi_i(i=1,2, \ldots, m)$ are the Lagrange multipliers. The first-order necessary conditions for the GDP maximization become as follows: for $i=1,2, \ldots, m$ and $j=1,2, \ldots, n$,
\begin{aligned} &\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y_j}=p_j-\mu_j=0 \ &\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mu_j}=F_j\left(v_{\bullet j}\right)-y_j=0 \ &\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial v_{i j}}=\mu_j \frac{\partial F_j\left(v_{\bullet j}\right)}{\partial v_{i j}}-\xi_i=0 \ &\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi_i}=\bar{v}i-\sum{k=1}^n v_{i k}=0 \end{aligned}

## 金融代写|国际贸易理论代写Theory of International Trade代考|GDP function

GDP function: The maximized GDP is written as a function of $p$ and $\bar{v}$ :
$$Y(p, \bar{v}) \equiv p \tilde{y}(p, \bar{v}) \equiv \max {p y \mid y \in \mathscr{Y}(\bar{v})} .$$
We call it the GDP function. ${ }^{18}$ The GDP function is a convenient analytical tool that describes intensively the behavior of the production sector of a country as a whole. We show some of the properties of the GDP function below.

The GDP function is linearly homogeneous, non-decreasing, and convex in $p$. The linear homogeneity of $Y$ in $p$ directly follows from the definition. To show $Y$ is non-decreasing in $p$, let us take two price vectors $p$ and $p^{\prime}$ such that $p_j0$ and $\tilde{y}_j(p, \bar{v}) \geq 0$, the second term is also non-negative, implying $Y$ is non-decreasing in $p$. Let us turn to the convexity in $p$. For arbitrary price vectors $p$ and $p^{\prime}$ and a real number $\lambda$ such that $0<\lambda<1$, define $p^\lambda \equiv \lambda p+[1-\lambda] p^{\prime}$. Then, by definition, we have $Y(p, \bar{v}) \geq p \tilde{y}\left(p^\lambda, \bar{v}\right)$ and $Y\left(p^{\prime}, \bar{v}\right) \geq p^{\prime} \tilde{y}\left(p^\lambda, \bar{v}\right)$. Multiplying the former by $\lambda$ and the latter by $[1-\lambda]$ and adding both sides, we obtain $\lambda Y(p, \bar{v})+[1-\lambda] Y\left(p^{\prime}, \bar{v}\right) \geq\left(\lambda p+[1-\lambda] p^{\prime}\right) \tilde{y}\left(p^\lambda, \bar{v}\right)=Y\left(p^\lambda, \bar{v}\right)$.

## 金融代写|国际贸易理论代写Theory of International Trade代考| GDP maximization

GDP最大化: 给定价格向量 $p$ 和生产向量 $y$ ，我们可以计算出总产量的价值 $p y \equiv \sum_{j=1}^n p_j y_j$ ，这只不过是该国的国内生产总值 (GDP)。让我们考虑一下资源约束下的GDP最大化问题:
$\max y p y$ subject to $y \in \mathscr{Y}(\bar{v})$. 我们可以证明生产点 $\bar{y}(p, \bar{v})$ 的生产均衡 $p$ 这与GDP最大化问题的解决方㝔相吻合。只要证明生产均衡满足GDP最大化的条件就足 够了。 考虑到 $\mathscr{Y}(\bar{v})$ ，让我们定义 (1.15) 的拉格朗日函数: 缺少或无法识别 \left 的分隔符 哪里 $\mu_j(j=1,2, \ldots, n)$ 和 $\xi_i(i=1,2, \ldots, m)$ 是拉格朗日乘数。GDP最大化的一阶必要条件如下: $i=1,2, \ldots, m$ 和 $j=1,2, \ldots, n$, $\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial y_j}=p_j-\mu_j=0 \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \mu_j}=F_j\left(v{\bullet j}\right)-y_j=0 \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial v_{i j}}=\mu_j \frac{\partial F_j\left(v_{\bullet j}\right)}{\partial v_{i j}}-\xi_i=0 \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi_i}=\bar{v} i-\sum k=1^n v_{i k}=0$

## 金融代写|国际贸易理论代写Theory of International Trade代考| GDP function

GDP函数：最大化的GDP写为 $p$ 和 $\bar{v}$ :
$$Y(p, \bar{v}) \equiv p \bar{y}(p, \bar{v}) \equiv \max p y \mid y \in \mathscr{Y}(\bar{v})$$

GDP 函数是线性㐎次的，不递减的，并且在 $p$ 线性均匀性 $Y$ 在 $p$ 直接䕊循定义。要显示 $Y$ 在 $p$ ，让伐们取两个价格向量 $p$ 和 $p^{\prime}$ 使得 $p_j 0$ 和 $\bar{y}_j(p, \bar{v}) \geq 0$ ，第二项也是非否定的，暗示 $Y$ 在 $p$. 让我们转向凸性 $p$.对于任意价格向量 $p$ 和 $p^{\prime}$ 和一个实数 $\lambda$ 使得 $0<\lambda<1$ 定义 $p^\lambda \equiv \lambda p+[1-\lambda] p^{\prime}$. 然后，根据定义，我们有 $Y(p, \bar{v}) \geq p \bar{y}\left(p^\lambda, \bar{v}\right)$ 和 $Y\left(p^{\prime}, \bar{v}\right) \geq p^{\prime} \bar{y}\left(p^\lambda, \bar{v}\right)$.侍前者乘以入后者由 $[1-\lambda]$ 并将两边相加，我们得到 $\lambda Y(p, \bar{v})+[1-\lambda] Y\left(p^{\prime}, \bar{v}\right) \geq\left(\lambda p+[1-\lambda] p^{\prime}\right) \bar{y}\left(p^\lambda, \bar{v}\right)=Y\left(p^\lambda, \bar{v}\right)$.

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。