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# 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|CSC201A Syntactic Interpretations and Normal Forms

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## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Syntactic Interpretations and Normal Forms

In this chapter we collect some results that show to what extent we can choose different symbol sets for a mathematical theory. For instance, the expressive power of first-order languages for group theory does not depend on the choice of $S_{\text {grp }}$ or $S_{\mathrm{gr}}$ as symbol set. The notion of syntactic interpretation will turn out to be a central concept in this context. In the section about normal forms we show that, for different syntactic properties, one can find for each formula a logically equivalent one which has this property, e.g., one which has syntactically an especially simple form.

We start with a preliminary investigation which will allow for some technical simplifications.

## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Term-Reduced Formulas and Relational Symbol Sets

Terms in a formula usually contain “nested” occurrences of function symbols. For instance, the ${f, g}$-formula
$$\varphi:=\forall x f g x \equiv y$$
(with unary $f, g$ ) contains the nested term $f g x$. But $\varphi$ is logically equivalent to the formula
$$\forall x \exists u(g x \equiv u \wedge f u \equiv y),$$
which contains no more nested terms, and which, in this sense, is “term-reduced”. We show this fact in general.
1.1 Definition. An $S$-formula is called term-reduced iff its atomic subformulas have the form $R x_1 \ldots x_n, x \equiv y, f x_1 \ldots x_n \equiv x$, or $c \equiv x$.
The result just mentioned can now be formulated as follows:
1.2 Theorem. With every $S$-formula $\psi$ one can associate a logically equivalent, term-reduced $S$-formula $\psi^$ with free $(\psi)=\operatorname{free}\left(\psi^\right)$.

Proof. For $\psi \in L^S$ let $x_1, x_2, x_3, \ldots$ be the enumeration of the variables not occurring in $\psi$ in the order induced by $v_0, v_1, v_2, \ldots$ First we define $\psi^$ for formulas $\psi$ of the form $t \equiv x$; this is done by induction on the term $t$ : $$[y \equiv x]^:=y \equiv x$$
for $c \in S$ :
$$[c \equiv x]^:=c \equiv x$$ for $n$-ary $f \in S$ : $$\left[f t_1 \ldots t_n \equiv x\right]^:=\exists x_1 \ldots \exists x_n\left(\left[t_1 \equiv x_1\right]^* \wedge \ldots \wedge\left[t_n \equiv x_n\right]^* \wedge f x_1 \ldots x_n \equiv x\right) .$$
For the remaining atomic formulas $\psi$ we define $\psi^$ as follows: If $t_2$ is not a variable, $$\left[t_1 \equiv t_2\right]^:=\exists x_1\left(\left[t_2 \equiv x_1\right]^* \wedge\left[t_1 \equiv x_1\right]^\right),$$ and if $R \in S$ is $n$-ary, $$\left[R t_1 \ldots t_n\right]^:=\exists x_1 \ldots \exists x_n\left(\left[t_1 \equiv x_1\right]^* \wedge \ldots \wedge\left[t_n \equiv x_n\right]^* \wedge R x_1 \ldots x_n\right) .$$
Finally we set
\begin{aligned} {[\neg \psi]^* } &:=\neg \psi^* ; \ \left(\psi_1 \vee \psi_2\right)^* &:=\left(\psi_1^* \vee \psi_2^\right) ; \ {[\exists x \psi]^ } &:=\exists x \psi^* \end{aligned}
Using this definition, it is quite easy to prove the claim.

## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Term-Reduced Formulas and Relational Symbol Sets

$$\varphi:=\forall x f g x \equiv y$$
(一元 $f, g)$ 包含嵌套项 $f g x$. 但 $\varphi$ 逻辑上等价于公式
$$\forall x \exists u(g x \equiv u \wedge f u \equiv y),$$

$1.1$ 定义。一个 $S$-formula 被称为项约简当且仅当其原子子公式具有以下形式 $R x_1 \ldots x_n, x \equiv y, f x_1 \ldots x_n \equiv x$ ，或者 $c \equiv x$.

$1.2$ 定理。随着每 $S$-公式 $\psi$ 可以将逻辑上等价的、减少术语的 $S$-公式琎少上标或下标参数

$$[y \equiv x]^{:}=y \equiv x$$

$$[c \equiv x]^{:}=c \equiv x$$

$$\left[f t_1 \ldots t_n \equiv x\right]^{:}=\exists x_1 \ldots \exists x_n\left(\left[t_1 \equiv x_1\right]^* \wedge \ldots \wedge\left[t_n \equiv x_n\right]^* \wedge f x_1 \ldots x_n \equiv x\right)$$

$$\left[R t_1 \ldots t_n\right]^{:}=\exists x_1 \ldots \exists x_n\left(\left[t_1 \equiv x_1\right]^* \wedge \ldots \wedge\left[t_n \equiv x_n\right]^* \wedge R x_1 \ldots x_n\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。